线性代数笔记9：特征值在微分方程中的应用

本节将矩阵的特征值与微分方程联系在一起，从另一个角度更好地了解特征值。

在差分方程中的应用

首先回顾由差分方程 uk+1=Auk u k + 1 = A u k 描述的离散动力系统的长期行为，即 k⇒∞ k ⇒ ∞ 时解的性质。

设 A A 可对角化，即存在可逆矩阵 S=(x1,...,xn) S = ( x 1 , . . . , x n ) ，使得 S−1AS=Λ S − 1 A S = Λ 为对角阵。

设 S−1u0=(c1,...,cn)T S − 1 u 0 = ( c 1 , . . . , c n ) T ,即 u0=c1x1+...+cnxn u 0 = c 1 x 1 + . . . + c n x n 。

uk=Aku0=SΛkS−1u0=c1λk1x1+...+cnλknxn u k = A k u 0 = S Λ k S − 1 u 0 = c 1 λ 1 k x 1 + . . . + c n λ n k x n

可以看出， uk u k 的增长因子 λki λ i k 支配，因此系统的稳定性依赖于 A A 的特征值。

当所有特征值 |λi|<1 | λ i | < 1 时，是稳定的；

当所有特征值 |λi|≤1 | λ i | ≤ 1 时，是中性稳定的；

当至少有一个特征值 |λi|>1 | λ i | > 1 时，是不稳定的；

因此，Markov过程是中性稳定的，Fibonacci数列是不稳定的。

引言

设关于t的向量值可导函数 u=u(t)=⎛⎝⎜u1(t)....un(t)⎞⎠⎟ u = u ( t ) = ( u 1 ( t ) . . . . u n ( t ) ) ，满足：

dudx=Au d u d x = A u

其中 A=(aij) A = ( a i j ) 为 n n 阶常数矩阵，求解 u=u(t) u = u ( t )

• 若 A=⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟ A = ( λ 1 . . . λ n ) 为对角阵，
  
  • 则 duidx=λiui d u i d x = λ i u i
  • 因此可解得 u=u(t)=⎛⎝⎜eλ1tc1...eλntcn⎞⎠⎟ u = u ( t ) = ( e λ 1 t c 1 . . . e λ n t c n )
  • 由于每个方程都是独立的，这类方程被称为解耦的（uncoupled）
• 那么对于一般的矩阵 A A ，如何求解呢？
  
  • 可以将非解耦方程转化为解耦方程求解
  • 

A A 可对角化情形

1. 设 dudt=Au d u d t = A u 有形如 eλtx e λ t x 的解（为什么要这样假设？），其中 λ λ 为数， x x 为向量，则：

   Ax=λx A x = λ x

   因此， A A 的每个特征值 λ λ 及特征向量 x x 都会给出 dudt=Au d u d t = A u 的一个解 u=λtx u = λ t x 。

   因此，求解步骤为：

   1. dudt=Au=SΛS−1u d u d t = A u = S Λ S − 1 u
   2. d(S−1u)dt=Λ(S−1u) d ( S − 1 u ) d t = Λ ( S − 1 u )
   3. S−1u=⎛⎝⎜eλ1tc1...eλntcn⎞⎠⎟ S − 1 u = ( e λ 1 t c 1 . . . e λ n t c n )
   4. u(t)=c1eλ1tx1+...+cneλntxn,且u(0)=c1x1+...+cnxn u ( t ) = c 1 e λ 1 t x 1 + . . . + c n e λ n t x n , 且 u ( 0 ) = c 1 x 1 + . . . + c n x n

   这样，其实我们就使用对角化将非解耦的方程转化为解耦方程，方便求解。

2. 设 u=u1(t) u = u 1 ( t ) 和 u=u2(t) u = u 2 ( t ) 是齐次线性微分方程组 dudt=Au d u d t = A u 的解，则他们的线性组合 u=c1u1(t)+c2u2(t) u = c 1 u 1 ( t ) + c 2 u 2 ( t ) 也是此方程组的解，其中 c1 c 1 和 c2 c 2 是任意常数。

3. dudt=An×nu d u d t = A n × n u 的解集是一个 n n 维向量空间。

   若 A A 可对角化，则方程组的通解为 u(t)=c1eλ1tx1+...+cneλntxn u ( t ) = c 1 e λ 1 t x 1 + . . . + c n e λ n t x n

矩阵的指数函数

1. 回顾 ex=1+x+x22!+...+xnn!+... e x = 1 + x + x 2 2 ! + . . . + x n n ! + . . .

   因此可使用 eAx e A x 带入，可得：

   d(eAt)dt=AeAt d ( e A t ) d t = A e A t

   而我们需要求的微分方程组 dudt=Au d u d t = A u ，因此 u(t)=eAtu(0) u ( t ) = e A t u ( 0 ) 。

2. 矩阵的指数函数性质：

   • 若 Λ=⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟，则eΛt=⎛⎝⎜eλ1t...eλnt⎞⎠⎟ Λ = ( λ 1 . . . λ n ) ， 则 e Λ t = ( e λ 1 t . . . e λ n t )
   • 若 AB=BA A B = B A ，则 eA+B=eA⋅eB e A + B = e A ⋅ e B ，特别的， (eA)−1=e−A ( e A ) − 1 = e − A 。
   • 若存在可逆矩阵 P P ,使得 A=PBP−1 A = P B P − 1 ，则 eAt=PeBtP−1 e A t = P e B t P − 1 。

3. 因此，若 A A 可对角化，由定理一可知：

   u(t)=eAtu(0)=SeΛtS−1u(0)=(x1,...,xn)⎛⎝⎜eλ1t...eλnt⎞⎠⎟⎛⎝⎜c1...cn⎞⎠⎟ u ( t ) = e A t u ( 0 ) = S e Λ t S − 1 u ( 0 ) = ( x 1 , . . . , x n ) ( e λ 1 t . . . e λ n t ) ( c 1 . . . c n )
   =c1eλ1tx1+...+cneλntxn = c 1 e λ 1 t x 1 + . . . + c n e λ n t x n

A A 二阶常系数线性微分方程

1. 假设 eλt e λ t 是方程的解，则可以得特征方程，

   • 若 λ1,λ2 λ 1 , λ 2 为实数，则方程的通解为：

     y=c1eλ1t+c2eλ2t y = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t

   • 若 λ1,λ2 λ 1 , λ 2 为共轭负数，即 λ1=α+iβ,λ2=α−iβ λ 1 = α + i β , λ 2 = α − i β ，则方程的通解为：

     y=eαt(c1cosβt+c2sinβt) y = e α t ( c 1 c o s β t + c 2 s i n β t )

2. 也可以使用矩阵表示为 dudx=Au d u d x = A u 。

3. 若 A A 有相同特征值，则不能对角化（为什么？），可使用第一种方法，但要注意，若有 n n 重根，则解为 t0eλt,....,tn−1eλt t 0 e λ t , . . . . , t n − 1 e λ t 。

微分方程的稳定性

我们知道若 A A 可对角化，则 dudx=Au d u d x = A u 有通解：

u(t)=c1eλ1tx1+...+cneλntxn u ( t ) = c 1 e λ 1 t x 1 + . . . + c n e λ n t x n

若所有的实数 λi<0 λ i < 0 ，则解是稳定的；

若所有的实数 λi≤0 λ i ≤ 0 ，则解是中性稳定的；

若至少有一个的实数特征值 λi<0 λ i < 0 ，则解是不稳定的