树的定义和基本术语

树型结构是一类重要的非线性数据结构。其中以树和二叉树最为常用，直观看来，树是以分支关系定义的层次结构。树结构在客观世界中广泛存在，如人类社会的族谱和各种社会组织机构可用树来形象表示。

1.树的定义和基本术语

树（Tree 是由一个集合以及在该集合上定义的一种关系构成的。集合中的元素称为树的结点，所定义的关系称为父子关系。父子关系在树的结点之间建立了一个层次结构。在这种层次结构中有一个结点具有特殊地位，这个结点称为该树的根结点，或简称树根。

定义

我们可以形式地给出树的递归定义如下：

树是n(n>=0)个结点的有限集。它

（1）或者是一棵空树（n=0），空树中不包含任何结点

（2）或者是一棵非空树（n>0），此时有且仅有一个特定的称为 根（root） 的结点；当n>1时，其余结点可以分为m(m>0)个互不相交的有限集T₁,T₁,…,T_m，其中每一个本身又是一棵树，并且称为根的 子树（sub tree）

如下图示，（a）是一棵空树，（b）是只有一个根结点的数，（c）是一棵有10个结点的树，其中A是根，其余的结点分为3个不相交的集合：T₁={B,E,F}、T₂={C,G}、T₃={D,H,I,J}，每个集合都构成一棵树，且都是根A的子树。

结点的层次和树的深度

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的若干分支。结点的 层次（level） 从根开始定义，层次数为1的结点时根结点，其子树的根的层次数为2。若某结点在第l层，则其子树的根就在第l+1层。对于层次为k(k>1)的每个结点c，都有且只有一个层次为k-1的结点p与之对应，p称为c的 双亲（parent） 或父亲、父结点。若p为c的父亲，则c称为p的 孩子（child） 。父子之间的连线是树的一条边。在树中根结点没有父亲，其余结点只有一个父结点，但是却可能有多个孩子，同一个结点的孩子相互称为 兄弟（sibling） 。

树中结点的最大层次数称为树的 深度(Depth) 或高度。树中结点也有高度，其高度是以该结点为根的树的高度。

例如，上图（c）中，结点A在第1层，结点B、C、D在第2层，结点E、F、G、H、I、J在第3层。结点A是结点B、C、D的父亲，结点B、C、D是结点A的孩子。由于结点H、I、J有同一个父亲D，所以它们互为兄弟。

以A为根的树的高度为3，结点A的高度也就为3。

结点的度与树的度

结点拥有的子树的数目称为结点的 度（Degree） 。度为0的结点称为 叶子（leaf） 或终端结点。度不为0的结点称为 非终端结点 或 分支结点 。除根之外的分支结点也称为内部结点。在这里需要主要的是，结点的直接前驱结点，即它的父结点不计入其度数 。

例如，在上图（c）中，结点A和D的度数为3，结点E、F、G、H、I、J的度数均为0，它们是叶子结点。

在树结构中，有一个重要的性质如下：

性质1： 树中的结点树等于树的边树加1，也等于所有结点的度数之和加1。

这是因为除根结点之外的每个结点都与指向它的一条边对应，所以除根结点以外的结点树等于树中边树之和。因此树中的结点数等于树的边树加1.而边数之和就是所有结点的度数之和，因此树中的结点数也等于所有结点的度数之和加1。

路径

在树中k+1个结点通过k条边连接构成的序列{

祖先、子孙、堂兄弟

将父子关系进行扩展，就可以得到祖先、子孙、堂兄弟等关系。结点的 祖先 是从根到该结点路径上的所有结点。以某结点为根的树中的任一结点都称为该结点的 子孙 。父亲在同一层次的结点互为 堂兄弟 。

例如，图（c）中，结点H的祖先为结点A、D。结点B的子孙有结点E、F。结点E、F与结点E、H、I、J互为堂兄弟。

有序树、m叉树

如果将树中结点的各子树看成是从左至右是有次序的，则称该树为 有序树 ；若不考虑子树的顺序则称为 无序树 。对于有序树，我们可以明确地定义每个结点的第一个孩子、第二个孩子等，直到最后一个孩子。若不特别指明，一般讨论的树都是有序树。

树中所有结点最大度数为m的有序树称为 m叉树。例如，在上图（c）中，以结点A为根的树就是一棵3叉树。

森林

森林（forest） 是m(m>=0)棵互不相交的树的集合。对树中的每个结点而言，其子树的集合即为森林。树和森林的概念相近。删去一棵树的根，就得到一个森林；反之，加上一个结点作为树根，森林就变成了一棵树。

例如，在上图（c）中，结点A的所有子树可以组成一个森林。