B-树（B树）(B-tree)
英文名字叫做B-tree，中间的短线是英文连接符，只是翻译的时候将短线翻译成了减号。
全称Balance-tree(平衡多路查找树)，平衡的意思是左边和右边分布均匀。多路的意思是相对于二叉树而言的，二叉树就是二路查找树，查找时只有两条路，而B-tree有多条路，即父节点有多个子节点。
二，B-树用途
使用B-tree结构可以显著减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。这个数据结构一般用于数据库的索引，综合效率较高。
三，阶的概念
对于一棵m阶B-tree，每个结点至多可以拥有m个子结点。
即遍观整棵树，子节点最多的个数是m，那么这棵树就是m阶树。
四，树的度
树的度就是树的高度，即树的层数。
下图以二叉树为例，其他类型数与此相同。
五，B-树的定义
（1）树中每个结点至多有m 棵子树（注：m指的是树的阶）；
（2）若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树（注：根节点至少有两个儿子）；
（3）除根结点之外的所有非叶子结点至少有p个子节点（
, 
为向上取整。）;
（4）所有的非叶子结点中包含以下数据：（n，A0，K1，A1，K2，…，Kn，An）
其中：
Ki（i=1,2,…,n）为关键码，且Ki
Ai 为指向儿子的指针(i=0,1,…,n)，且指针Ai-1 所指子树中所有结点的关键码均小于Ki (i=1,2,…,n)，An 所指子树中所有结点的 关键码均大于Kn。（注：每个ki数据两旁各安放了一个指针，即Ai-1和Ai，左边的子树数据统统小于ki，右边子树的数据统 统大于ki）（注：总体来看指针数量比数据数量多1）
n 为关键码的个数（
）。
（5）所有的叶子结点都出现在同一层次上，即所有叶节点具有相同的深度，等于树高度。并且不带信息（可以看作是外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空）。
六，B-树和二叉树的不同点
（1）二叉树节点中保存的数据只有一个，而B-树得节点中保存的是线性表，真实数据数据不止一个有很多。由于表中的指针和子节点一一对应，而子节点个数又有限定（, 为向上取整。），又因为真实数据数量又比指针少一个所以真实数据也就有了限定（）。
（2）二叉树至多有两个儿子节点，而B-树至多有m个节点（m为树的阶）
七，B-树的查找
B-树的查找类似二叉排序树的查找，不同的是B-树每个结点上是多关键码的有序表，在到达某个结点时，先在有序表中查找，若找到，则查找成功；否则，到按照对应的指针信息指向的子树中去查找，当到达叶子结点时，则说明树中没有对应的关键码。
举例：
如下图是一棵四阶B-树，其深度为4（注：阶和度没有关系，此图刚好阶和度相等）， 在图一中查找关键字47过程如下：
图一
（1）首先从根节点a开始，因为 a 节点中只有一个关键字35，且给定值47 > 关键字35，则若存在必在指针A1所指的子树内。
（2）顺指针找到 c节点，该节点有两个关键字（43和 78），而43 < 47 < 78,若存在比在指针A1所指的子树中。
（3）同样，顺指针找到 g节点，在该节点找到关键字47,查找成功。
八，B-树的插入
举例：
如图（a） 为3阶的B-树(图中略去F结点(即叶子结点))，假设需依次插入关键字30，26，85。
（1）首先通过查找确定插入的位置。由根节点a开始查找，确定30应插入的在d 节点中。由于d 中关键字数目不超过2（即m-1），故第一个关键字插入完成：如图（b）
（2）同样，通过查找确定关键字26亦应插入 d， 由于d节点关键字数目超过2，此时需要将 d分裂成两个节点，关键字26及其前、后两个指针仍保留在 d 节点中。而关键字37 及其前、后两个指针存储到新的产生的节点 d` 中。同时将关键字30 和指示节点 d `的指针插入到其双亲的节点中。由于 b节点中的关键字数目没有超过2，则插入完成.如（c）(d)
（3） (e) -(g) 为插入85后;
九，B-树的删除
反之，若在B-树上删除一个关键字，则首先应找到该关键字所在结点，并从中删除之，若该结点为最下层的非终端结点，且其中的关键字数目不少于ceil(m/2)，则删除完成，否则要进行“合并”结点的操作。假若所删关键字为非终端结点中的Ki，则可以指针Ai所指子树中的最小关键字Y替代Ki，然后在相应的结点中删去Y。例如，在下图 图4.1( a)的B-树上删去45，可以*f结点中的50替代45，然后在*f结点中删去50。
图4.1( a)
因此，下面我们可以只需讨论删除最下层非终端结点中的关键字的情形。有下列三种可能：
(1)被删关键字所在结点中的关键字数目不小于ceil(m/2)，则只需从该结点中删去该关键字Ki和相应指针Ai，树的其它部分不变，例如，从图 图4.1( a)所示B-树中删去关键字12，删除后的B-树如图 图4.2( a)所示：
图4.2( a)
(2)被删关键字所在结点中的关键字数目等于ceil(m/2)-1，而与该结点相邻的右兄弟(或左兄弟)结点中的关键字数目大于ceil(m/2)-1，则需将其兄弟结点中的最小(或最大)的关键字上移至双亲结点中，而将双亲结点中小于(或大于)且紧靠该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。
[例如]，从图图4.2( a)中删去50，需将其右兄弟结点中的61上移至*e结点中，而将*e结点中的53移至*f，从而使*f和*g中关键字数目均不小于ceil(m-1)-1，而双亲结点中的关键字数目不变，如图图4.2(b)所示。
图4.2(b)
(3)被删关键字所在结点和其相邻的兄弟结点中的关键字数目均等于ceil(m/2)-1。假设该结点有右兄弟，且其右兄弟结点地址由双亲结点中的指针Ai所指，则在删去关键字之后，它所在结点中剩余的关键字和指针，加上双亲结点中的关键字Ki一起，合并到 Ai所指兄弟结点中(若没有右兄弟，则合并至左兄弟结点中)。
[例如]，从图4.2(b)所示 B-树中删去53，则应删去*f结点，并将*f中的剩余信息(指针“空”)和双亲*e结点中的 61一起合并到右兄弟结点*g中。删除后的树如图4.2(c)所示。
图4.2(c)
如果因此使双亲结点中的关键字数目小于ceil(m/2)-1，则依次类推。
[例如]，在 图4.2(c)的B-树中删去关键字37之后，双亲b结点中剩余信息(“指针c”)应和其双亲*a结点中关键字45一起合并至右兄弟结点*e中，删除后的B-树如图 4.2(d)所示。 
图 4.2(d)
B-树主要应用在文件系统
为了将大型数据库文件存储在硬盘上 以减少访问硬盘次数为目的 在此提出了一种平衡多路查找树——B-树结构 由其性能分析可知它的检索效率是相当高的 为了提高 B-树性能’还有很多种B-树的变型，力图对B-树进行改进