动态规划求解TSP(旅行商)问题

某推销员要从城市v1出发，访问其它城市v2，v3，…，v6各一次且仅一次，最后返回v1。D为各城市间的距离矩阵。问：该推销员应如何选择路线，才能使总的行程最短？

 

1、变量设定

阶段k：已遍历过k个结点，k=1,2…6,7。

        K=1表示刚从V1出发，k=7表示已回到起点V1

状态变量Xk=(i，Sk)：已遍历k个结点，当前位于i结点，还未遍历的结点集合为Sk。则X1=(1，{2,3,4,5,6})，X6=(i，Φ)，X7=(1，Φ)

决策变量Uk=(i，j)：已遍历k个结点，当前位于i结点，下一个结点选择j。

状态转移方程：X_k+1 = T(Xk，Uk) = (j，Sk-{j})

第k阶段的指标函数Vk = D[i,j]。

最优指标函数Fk(Xk) = Fk(i，Sk)：已遍历k个结点，当前从i结点出发，访问Sk中的结点一次且仅一次，最后返回起点V1的最短距离。

则Fk(i，Sk) = min{ D[i,j] + F_k+1(j，Sk-{j}) }     1≤k≤6

   F₇(X7)= F₇(1，Φ) = 0

 

2、分析：

 

（1）k=6时，F6(i，Φ) = min{D[i,1] + F7(X7)} = D[i,1]    i=2,3,4,5,6

 

 

X6=(i，Φ)	U6=(i，j)	X7=(1，Φ)	V6=D[i,j]	F7(1，Φ)	V6 + F7(X7)
(2，Φ)	(2，1)	(1，Φ)	12	0	12=F6(2,Φ)
(3，Φ)	(3，1)	(1，Φ)	23	0	23=F6(3,Φ)
(4，Φ)	(4，1)	(1，Φ)	34	0	34=F6(4,Φ)
(5，Φ)	(5，1)	(1，Φ)	45	0	45=F6(5,Φ)
(6，Φ)	(6，1)	(1，Φ)	56	0	56=F6(6,Φ)

即k=6时，对于每一种状态X6，都有唯一的决策U6。

 

（2）k=5时，F5(i，S5) = min{D[i,j] + F6(j，Φ)}     i=2,3,4,5,6

 

X5=(i,S5)	U5=(i,j)	X6=(j, Φ)	V5=D[i,j]	F6(j,Φ)	V5 + F6(X6)
(2,{6}}	(2,6)	(6，Φ)	21	56	77=F5(2,{6})
(2,{5}}	(2,5)	(5，Φ)	25	45	70=F5(2,{5})
(2,{4}}	(2,4)	(4，Φ)	30	34	64=F5(2,{4})
(2,{3}}	(2,3)	(3，Φ)	18	23	41=F5(2,{3})
(3,{6})	(3,6)	(6，Φ)	15	56	71=F5(3,{6})
(3,{5})	(3,5)	(5，Φ)	10	45	55=F5(3,{5})
(3,{4})	(3,4)	(4，Φ)	5	34	39=F5(3,{4})
(3,{2})	(3,2)	(2，Φ)	19	12	31=F5(3,{2})
(4,{6})	(4,6)	(6，Φ)	16	56	72=F5(4,{6})
(4,{5})	(4,5)	(5，Φ)	8	45	53=F5(4,{5})
(4,{3})	(4,3)	(3，Φ)	4	23	27=F5(4,{3})
(4,{2})	(4,2)	(2，Φ)	32	12	44=F5(4,{2})
(5,{6})	(5,6)	(6，Φ)	18	56	74=F5(5,{6})
(5,{4})	(5,4)	(4，Φ)	10	34	44=F5(5,{4})
(5,{3})	(5,3)	(3，Φ)	11	23	34=F5(5,{3})
(5,{2})	(5,2)	(2，Φ)	27	12	39=F5(5,{2})
(6,{5})	(6,5)	(5，Φ)	12	45	57=F5(6,{5})
(6,{4})	(6,4)	(4，Φ)	20	34	54=F5(6,{4})
(6,{3})	(6,3)	(3，Φ)	16	23	39=F5(6,{3})
(6,{2})	(6,2)	(2，Φ)	22	12	34=F5(6,{2})

即k=时，对于每一种状态X5，都有唯一决策U5。

 

 

 

（3）k=4时，F4(i,S4) = min(D[i,j] + F5(j,S5) )     i=2,3,4,5,6

 

X4=(i,S4)	U4=(i,j)	X5=(j,S5)	V4=D[i,j]	F5(j,S5)	V4 + F5(j,S5)
(2,{3,4})	(2,3)	(3,{4})	18	39	57=F4(2,{3,4})
	(2,4)	(4,{3})	30	27	57=F4(2,{3,4})
(2,{4,5})	(2,4)	(4,{5})	30	53	83
	(2,5)	(5,{4})	25	44	69=F4(2,{4,5})
(2,{5,6})	(2,5)	(5,{6})	25	74	99
	(2,6)	(6,{5})	21	57	78=F4(2,{5,6})
(2,{3,5})	(2,3)	(3,{5})	18	55	73
	(2,5)	(5,{3})	25	34	59=F4(2,{3,5})
(2,{3,6})	(2,3)	(3,{6})	18	71	89
	(2,6)	(6,{3})	21	39	60=F4(2,{3,6})
(2,{4,6})	(2,4)	(4,{6})	30	72	102
	(2,6)	(6,{4})	21	54	75=F4(2,{4,6})
(3,{2,4})	(3,2)	(2,{4})	19	64	83
	(3,4)	(4,{2})	5	44	49=F4(3,{2,4})
(3,{2,5})	(3,2)	(2,{5})	19	70	89
	(3,5)	(5,{2})	10	39	49=F4(3,{2,5})
(3,{2,6})	(3,2)	(2,{6})	19	77	96
	(3,6)	(6,{2})	15	34	49=F4(3,{2,6})
(3,{4,5})	(3,4)	(4,{5})	5	53	58
	(3,5)	(5,{4})	10	44	54=F4(3,{4,5})
(3,{4,6})	(3,4)	(4,{6})	5	72	77
	(3,6)	(6,{4})	15	54	69=F4(3,{4,6})
(3,{5,6})	(3,5)	(5,{6})	10	74	84
	(3,6)	(6,{5})	15	57	72=F4(3,{5,6})
(4,{2,3})	(4,2)	(2,{3})	32	41	73
	(4,3)	(3,{2})	4	31	34=F4(4,{2,3})
(4,{2,5})	(4,2)	(2,{5})	32	70	102
	(4,5)	(5,{2})	8	39	47=F4(4,{2,5})
(4,{2,6})	(4,2)	(2,{6})	32	77	109
	(4,6)	(6,{2})	16	34	50=F4(4,{2,6})
(4,{3,5})	(4,3)	(3,{5})	4	55	59
	(4,5)	(5,{3})	8	34	42=F4(4,{3,5})
(4,{3,6})	(4,3)	(3,{6})	4	71	75
	(4,6)	(6,{3})	16	39	55=F4(4,{3,6})
(4,{5,6})	(4,5)	(5,{6})	8	74	82
	(4,6)	(6,{5})	16	57	73=F4(4,{5,6})
(5,{2,3})	(5,2)	(2,{3})	27	41	68
	(5,3)	(3,{2})	11	31	42=F4(5,{2,3})
(5,{2,4})	(5,2)	(2,{4})	27	64	91
	(5,4)	(4,{2})	10	44	54=F4(5,{2,4})
(5,{2,6})	(5,2)	(2,{6})	27	77	104
	(5,6)	(6,{2})	18	34	52=F4(5,{2,6})
(5,{3,4})	(5,3)	(3,{4})	11	39	50
	(5,4)	(4,{3})	10	27	37=F4(5,{3,4})
(5,{3,6})	(5,3)	(3,{6})	11	71	82
	(5,6)	(6,{3})	18	39	57=F4(5,{3,6})
(5,{4,6})	(5,4)	(4,{6})	10	72	82
	(5,6)	(6,{4})	18	54	72=F4(5,{4,6})
(6,{2,3})	(6,2)	(2,{3})	22	41	63
	(6,3)	(3,{2})	16	31	47=F4(6,{2,3})
(6,{2,4})	(6,2)	(2,{4})	22	64	86
	(6,4)	(4,{2})	20	44	64=F4(6,{2,4})
(6,{2,5})	(6,2)	(2,{5})	22	70	92
	(6,5)	(5,{2})	12	39	51=F4(6,{2,5})
(6,{3,4})	(6,3)	(3,{4})	16	39	55
	(6,4)	(4,{3})	20	27	47=F4(6,{3,4})
(6,{3,5})	(6,3)	(3,{5})	16	55	71
	(6,5)	(5,{3})	12	34	46=F4(6,{3,5})
(6,{4,5})	(6,4)	(4,{5})	20	53	73
	(6,5)	(5,{4})	12	44	56=F4(6,{4,5})

 

 

（4）k=3时，F3(i,S3) = min{D[i,j] + F4(j,S4)}   i=2,3,4,5,6

 

X3=(i,S3)	U3=(i,j)	X4=(j,S4)	V3=D[i,j]	F4(j,S4)	V3 + F4(j,S4)
(2,{3,4,5})	(2,3)	(3,{4,5})	18	54	72
	(2,4)	(4,{3,5})	30	42	72
	(2,5)	(5,{3,4})	25	37	62=F3(2,{3,4,5})
(2,{3,4,6})	(2,3)	(3,{4,6})	18	69	87
	(2,4)	(4,{3,6})	30	55	85
	(2,6)	(6,{3,4})	21	47	68=F3(2,{3,4,6})
(2,{3,5,6})	(2,3)	(3,{5,6})	18	72	90
	(2,5)	(5,{3,6})	25	57	82
	(2,6)	(6,{3,5})	21	46	67=F3(2,{3,5,6})
(2,{4,5,6})	(2,4)	(4,{5,6})	30	73	103
	(2,5)	(5,{4,6})	25	72	97
	(2,6)	(6,{4,5})	21	56	77=F3(2,{4,5,6})
(3,{2,4,5})	(3,2)	(2,{4,5})	19	69	88
	(3,4)	(4,{2,5})	5	47	52=F3(3,{2,4,5})
	(3,5)	(5,{2,4})	10	54	64
(3,{2,4,6})	(3,2)	(2,{4,6})	19	75	94
	(3,4)	(4,{2,6})	5	50	55=F3(3,{2,4,6})
	(3,6)	(6,{2,4})	15	64	79
(3,{2,5,6})	(3,2)	(2,{5,6})	19	78	97
	(3,5)	(5,{2,6})	10	52	62=F3(3,{2,5,6})
	(3,6)	(6,{2,5})	15	51	66
(3,{4,5,6})	(3,4)	(4,{5,6})	5	73	78
	(3,5)	(5,{4,6})	10	72	82
	(3,6)	(6,{4,5})	15	56	71=F3(3,{4,5,6})
(4,{2,3,5})	(4,2)	(2,{3,5})	32	59	91
	(4,3)	(3,{2,5})	4	49	53
	(4,5)	(5,{2,3})	8	42	50=F3(4,{2,3,5})
(4,{2,3,6})	(4,2)	(2,{3,6})	32	60	92
	(4,3)	(3,{2,6})	4	49	53=F3(4,{2,3,6})
	(4,6)	(6,{2,3})	16	47	63
(4,{2,5,6})	(4,2)	(2,{5,6})	32	78	110
	(4,5)	(5,{2,6})	8	52	60=F3(4,{2,5,6})
	(4,6)	(6,{2,5})	16	51	67
(4,{3,5,6})	(4,3)	(3,{5,6})	4	72	76
	(4,5)	(5,{3,6})	8	57	65
	(4,6)	(6,{3,5})	16	46	62=F3(4,{3,5,6})
(5,{2,3,4})	(5,2)	(2,{3,4})	27	57	84
	(5,3)	(3,{2,4})	11	49	60
	(5,4)	(4,{2,3})	10	34	44=F3(5,{2,3,4})
(5,{2,3,6})	(5,2)	(2,{3,6})	27	60	87
	(5,3)	(3,{2,6})	11	49	60=F3(5,{2,3,6})
	(5,6)	(6,{2,3})	18	47	65
(5,{2,4,6})	(5,2)	(2,{4,6})	27	75	102
	(5,4)	(4,{2,6})	10	50	60=F3(5,{2,4,6})
	(5,6)	(6,{2,4})	18	64	82
(5,{3,4,6})	(5,3)	(3,{4,6})	11	69	80
	(5,4)	(4,{3,6})	10	55	65=F3(5,{3,4,6})
	(5,6)	(6,{3,4})	18	47	65=F3(5,{3,4,6})
(6,{2,3,4})	(6,2)	(2,{3,4})	22	57	79
	(6,3)	(3,{2,4})	16	49	65
	(6,4)	(4,{2,3})	20	34	54=F3(6,{2,3,4})
(6,{2,3,5})	(6,2)	(2,{3,5})	22	59	81
	(6,3)	(3,{2,5})	16	49	65
	(6,5)	(5,{2,3})	12	42	54=F3(6,{2,3,5})
(6,{2,4,5})	(6,2)	(2,{4,5})	22	69	91
	(6,4)	(4,{2,5})	20	47	67
	(6,5)	(5,{2,4})	12	54	66=F3(6,{2,4,5})
(6,{3,4,5})	(6,3)	(3,{4,5})	16	54	70
	(6,4)	(4,{3,5})	20	42	62
	(6,5)	(5,{3,4})	12	37	49=F3(6,{3,4,5})

 

 

（5）k=2时，F2(i,S2) = min{D[i,j] + F3(j,S3)}      i=2,3,4,5,6

 

X2=(i,S2)	U2=(i,j)	X3=(j,S3)	V2=D[i,j]	F3(j,S3)	V2 + F3(j,S3)
(2,{3,4,5,6})	(2,3)	(3,{4,5,6})	18	71	89
	(2,4)	(4,{3,5,6})	30	62	92
	(2,5)	(5,{3,4,6})	25	65	90
	(2,6)	(6,{3,4,5})	21	49	70=F2(2,{3,4,5,6})
(3,{2,4,5,6})	(3,2)	(2,{4,5,6})	19	77	96
	(3,4)	(4,{2,5,6})	5	60	65=F2(3,{2,4,5,6})
	(3,5)	(5,{2,4,6})	10	60	70
	(3,6)	(6,{2,4,5})	15	66	81
(4,{2,3,5,6})	(4,2)	(2,{3,5,6})	32	67	99
	(4,3)	(3,{2,5,6})	4	62	66=F2(4,{2,3,5,6})
	(4,5)	(5,{2,3,6})	8	60	68
	(4,6)	(6,{2,3,5})	16	54	70
(5,{2,3,4,6})	(5,2)	(2,{3,4,6})	27	68	95
	(5,3)	(3,{2,4,6})	11	55	66
	(5,4)	(4,{2,3,6})	10	53	63=F2(5,{2,3,4,6})
	(5,6)	(6,{2,3,4})	18	54	72
(6,{2,3,4,5})	(6,2)	(2,{3,4,5})	22	62	84
	(6,3)	(3,{2,4,5})	16	52	68
	(6,4)	(4,{2,3,5})	20	50	70
	(6,5)	(5,{2,3,4})	12	44	56=F2(6,{2,3,4,5})

 

（6）k=1时，F1(1,S1) = min{D[1,j] + F2(j,S2)}

 

X1=(1,S1)	U1=(1,j)	X2=(j,S2)	V1=D[1,j]	F2(j,S2)	V1 + F2(j,S2)
(1,{2,3,4,5,6})	(1,2)	(2,{3,4,5,6})	10	70	80=F1(1,{2,3,4,5,6})
	(1,3)	(3,{2,4,5,6})	20	65	85
	(1,4)	(4,{2,3,5,6})	30	66	96
	(1,5)	(5,{2,3,4,6})	40	63	103
	(1,6)	(6,{2,3,4,5})	50	56	106

 

 

3、伪代码和C++源码

为方便计算，结点编号改为0到5.

(1)用一张二维表格F[][]表示F(i,Sk)，行数是n，列数是2^n-1。

(2)行号表示当前所在的结点i。

列号对应的五位二进制表示表示{V5,V4,V3,V2,V1}的一个子集，1表示在集合中，0表示不在集合中。

例如：00110表示的集合为{V3,V2}，00000表示空集

(3)再用一张n*2^n-1的表格M[][]存储对应每个状态(i，Sk)所做的最优决策，以便回溯找最短路线。

 

伪代码：

TSP(int D[][]，int n)

//输入n个顶点的有向图，矩阵D[][]是有向图的邻接矩阵

//D[][]是原图的邻接矩阵

//F[][]中存储阶段最短路径，M[][]中存储阶段最优策略,行数是n，列数是2^n-1

//找到从V0出发，遍历所有城市一次且仅一次再回到V0的最短路径长度

//并输出最短路径

{

       for(i=0; i

              F[i][0] = D[i][0];  //初始化第0列，F6(i，Φ)= D[i,0]

      

for(i=1; i<2^n-1-1; i++)  //列

       for(j=1;j行

              if(j不在i的二进制表示对应的集合中)

                     对于i对应集合中的每一个点k

{                   

计算D[j][k]+F[k][i-2^k-1]并选择使之取得最小值min的k*; 

                            F[k][i]= min ; //填表，记录阶段最优值

                            M[k][i]= k* ;  //记录每个状态的最优决策k*

}

 

//i==2^n-1-1 时

对于i中的每个节点k

计算D[0][k] + F[k][ [i-2^k-1]并选择使之取得最小值min的k*

F[0][ 2^n-1-1] = min; //总最短路径

M[0][ 2^n-1-1] = k*;

 

//回溯查表M输出最短路径

输出V0

for(2^n-1-1,j=0; i>0; )

{

       j =M[j][i];//下一步去往哪个结点

       i = i –2^j-1;//从i表示的集合中删除j

       输出Vj

}

}

C++源码：

#include
#include
#include
#include

#define n 6     //结点个数

void main()
{
	int i,j,k,min,temp;
	int b=(int)pow(2,n-1);
	int D[20][20];//原图的邻接矩阵
	
	fstream fin("TSPinput1.txt",ios::in);//打开输入文件
	fstream fout("TSPoutput.txt",ios::out);//打开输出文件

	//读入数据到邻接矩阵D中
	for(i=0;i>D[i][j];

	//申请二维数组F和M
	int ** F = new int* [n];//n行b列的二维数组，存放阶段最优值
	int ** M = new int* [n];//n行b列的二维数组，存放最优策略
	for(i=0;i0; )//i的二进制是5个1，表示集合{1,2,3,4,5}
	{
		j = M[j][i];//下一步去往哪个结点
		i = i - (int)pow(2,j-1);//从i中去掉j结点
		fout<<"->"<0"<

 

源码及测试数据下载地址：http://download.csdn.net/detail/masikkk/4822942