2020杭电多校赛 Multi-University Training Contest

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第一场出题人：朝鲜MUTC KUT Round

1005_6755 Fibonacci Sum: 二次剩余_Fib的k次幂和

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题意
$1\le n,c\le 1e18,1\le k\le 1e5$
$Fib1=1,Fib1=1,Fi{b}_n=Fi{b}_{n-1}+Fi{b}_{n-2}$
求$Fi{b}_0^k+Fi{b}_c^k+Fi{b}_{2c}^k+...+Fi{b}_{nc}^k,mod=1e9+9$

前请提要
有关取模、同余、逆元的一些东西：
$fib[n]=\frac{\sqrt{5}}{5}\times [(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n]$
$p=1e9+9$
二次剩余：
$383008016^2\equiv 5(modp)$
$383008016\equiv \sqrt{5}(modp)$
$\frac{1}{\sqrt{5}}\equiv 276601605(modp)$
$383008016的逆元=276601605$
$(1+\sqrt{5})/2\equiv 691504013(modp)$
$383008017\times 2的逆元=691504013$
$(1-\sqrt{5})/2\equiv 308495997(modp)$
$(p-383008016+1)\times 2的逆元=308495997$

$fib[n]=276601605\times [(691504013{)}^n-(308495997{)}^n](modp)$
$fib$前$n$项和等比数列求和：$sum=\frac{a}{a-1}\times (a^n-1)(modp)=a^2(a^n-1)(modp)=a^{n+2}-a^2(modp)$
当$p=1e9+9,a=691504013或308495997时成立$。
思路
通过上面我们知道，在模$p=1e9+9$意义下有:
$fib[n]=276601605\times [(691504013{)}^n-(308495997{)}^n](modp)=d\times (a^n-b^n)$
$fi{b}_{nc}=d\times (a^{cn}-b^{cn})=d\times (A^n-B^n)=Fib{C}_n，A=a^c,B=b^c$
$(\frac{1}{d}fi{b}_{nc}{)}^k$二项式展开有：
$$C_k^0(A^n{)}^k+(-1{)}^1{C}_k^1(A^n{)}^{k-1}(B^n)+(-1{)}^2{C}_k^2(A^n{)}^{k-2}(B^n{)}^2+...+(-1{)}^r{C}_k^r(A^n{)}^{k-r}(B^n{)}^r+...+(-1{)}^{k-1}{C}_k^{k-1}(A^n)(B^n{)}^{k-1}+(-1{)}^k{C}_k^k(B^n{)}^k$$
$$C_k^0(A^k{)}^n+(-1{)}^1{C}_k^1(A^{k-1}{)}^n(B{)}^n+(-1{)}^2{C}_k^2(A^{k-2}{)}^n(B^2{)}^n+...+(-1{)}^r{C}_k^r(A^{k-r}{)}^n(B^r{)}^n+...+(-1{)}^{k-1}{C}_k^{k-1}(A{)}^n(B^{k-1}{)}^n+(-1{)}^k{C}_k^k(B^k{)}^n$$
现在我们要求$FibC$的前$n$项和，我们$O(k)$枚举$C_k^r$，逐项求出前$n$项和再累加即可。
对于$(-1{)}^r{C}_k^r$而言，令$a=A^{k-r}{B}^r$，前$n$项和为$(-1{)}^r{C}_k^r\times \frac{a\times (a^n-1)}{a-1}$
可以加的几个优化：

• 欧拉降幂，$n,c\le 1e18,p=1e9+9$，$a^n(modp)=a^{n\%\varphi (p)}(modp)$ ^_^
• $a=A^{k-r}{B}^r$没有必要预处理，我们可以在线求，令$a=A^k$，然后$a=a\ast b\ast inv(a)$即可
• 同理$a^n$也可以在线求，然后就过了。

备注
参考：ACDreamers
AC_CODE
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1006_6756 Finding a MEX: 分块_线段树_树状数组

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题意
$n,m,q\le 1e5$无向图, $S_u=\{A_v|(u,v)\in E\}$,$F_u=mex(S_u)$
$type1:1ux,change{A}_u=x$
$type2:2u,query{F}_u$
思路
度数大于$\sqrt{m}$的超级点不超多$\sqrt{m}$个。
小点暴力算，超级点用分块或者bit，线段树
分块复杂度$O(n\ast \sqrt{n})$, 1170ms
线段树复杂度$O(n\ast \sqrt{n}\ast log(n))$, 1560MS
树状数组+二分求mex复杂度$O(n\ast \sqrt{n}\ast log(n)\ast log(n))$, 1092MS
树状数组求mex复杂度$O(n\ast \sqrt{n}\ast log(n)\ast log(n))$, 1762MS
动态开点线段树TLE
分块维护每个块内数字第一次出现的次数，$O(\sqrt{n})$修改，$O(\sqrt{n})$查询
线段树维护mex其实就是维护最小值
备注

AC_CODE
分块，线段树，树状数组求mex，树状数组+二分求mex

1009_6759 Leading Robots: 优先队列贪心

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题意
有$n(1e5)$辆车在数轴正半轴，每个车在初始位置在$p_i$、初速度$0$，加速度$a_i$，可能有车信息完全相同，问有多少辆车存在某一个时刻它走在当之无愧的第一名，也就是没有并列。
思路
1.把所有车子$unique$一下，相同车子记录他的个数(当然如果它个数大于$1$，我是不会算它的贡献滴)
2.用单调栈预处理一下，去掉永远不可能在第一位的车子。
3.用$rs[]$记录每个车子下一个要超过的车子的编号
4.优先队列保存每个车子$i$超过车子$rs[i]$的时间，优先队列每次取出时间最短的那个车子
6.判断他是否超车到了第一位，若是就记录，并且若这是最初排在最后一位的车子就break结束
5.然后去掉$rs[i]$这个车子，因为他还没到第一就已经被车子$i$超车了
6.复杂度$O(n\ast log(n))$
备注
去年多校也有一个车子过红绿灯贪心题HDU Vacation
AC_CODE
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