决策树的基本原理--学习于实验楼

决策树是一种特殊的树形结构，一般由节点和有向边组成，其中，节点表示特征，属性，或者一个类，而有向边包含判断条件
如图所示，决策树从根节点开始延伸经过不同的判断条件后，到达不同的子节点，而上层子节点又可以作为父节点被进一步划分为下层子节点，一般情况下，我们从根节点输入数据，经过多次判断后，这些数据就会被划分到不同的类别。这就构成了一颗简单的分类决策树

决策树可以用来解决分类或者回归问题，分别称之为分类树或回归树。其中，分类树的输出是一个标量。而回归树的输出一般为一个实数

通常情况下，决策树利用损失函数最小的原则建立模型，然后利用该模型进行预测。决策树学习通常包含三个阶段：特征选择，树的生成，树的修剪。

三个阶段

特征选择

特征选择是建立决策树之前的十分重要的一步。如果是随机的选择特征，那么所建立决策树的学习效率就会大打折扣。举例：银行采用决策树来解决信用卡审批问题，判断是否向某人发放信用卡可以根据其年龄，工作单位，是否有不动产，历史信贷情况等特征决定。而选择不同的特征，后续生成的决策树就会不一致，这种不一致最终会影响到决策树的分类效率。

通常我们在选择特征的时, 会考虑到两种不同的指标，分别为：信息增益和信息增益比。这里就要谈到信息论中的另一个常见的名词:熵。

熵（Entropy）是表示随机变量不确定性的度量。简单来说：熵越大，随机变量的不确定性就越大，而特征A对于某一训练集D的信息增益g(D,A)定义为集合D的熵H(D)与特征A在给定条件下D的熵的（H|A）之差。

g(D,A)=H(D)-H(D|A)

简单来讲，每一个特征针对训练数据集的前后信息变化的影响是不一样的，信息增益越大，即代表这种影响越大，而影响越大，就表明该特征更加重要。

生成算法

决策树的生成算法最经典的就数 John Ross Quinlan 提出的 ID3 算法，这个算法的核心理论即源于上面提到的信息增益。

ID3 算法通过递归的方式建立决策树。建立时，从根节点开始，对节点计算每个独立特征的信息增益，选择信息增益最大的特征作为节点特征。接下来，对该特征施加判断条件，建立子节点。然后针对子节点再此使用信息增益进行判断，直到所有特征的信息增益很小或者没有特征时结束，这样就逐步建立一颗完整的决策树。

除了从信息增益演化而来的 ID3 算法，还有一种常见的算法叫 C4.5。C4.5 算法同样由 John Ross Quinlan 发明，但它使用了信息增益比来选择特征，这被看成是 ID3 算法的一种改进。

ID3 和 C4.5 算法简单高效，但是他俩均存在一个缺点，那就是用 “完美去造就了另一个不完美”。这两个算法从信息增益和信息增益比开始，对整个训练集进行的分类，拟合出来的模型针对该训练集的确是非常完美的。但是，这种完美就使得整体模型的复杂度较高，而对其他数据集的预测能力就降低了，也就是我们常说的过拟合而使得模型的泛化能力变弱。

当然，过拟合的问题也是可以解决的，那就是对决策树进行修剪。

决策树修剪

决策树的修剪，其实就是通过优化损失函数来去掉不必要的一些分类特征，降低模型的整体复杂度。修剪的方式，就是从树的叶节点出发，向上回缩，逐步判断。如果去掉某一特征后，整棵决策树所对应的损失函数更小，那就就将该特征及带有的分支剪掉。

由于 ID3 和 C4.5 只能生成决策树，而修剪需要单独进行，这也就使得过程更加复杂了。1984 年，Breiman 提出了 CART 算法，使这个过程变得可以一步到位。CART 算法本身就包含了决策树的生成和修剪，并且可以同时被运用到分类树和回归树。这就是和 ID3 及 C4.5 之间的最大区别。

CART 算法在生成树的过程中，分类树采用了基尼指数（Gini Index）最小化原则，而回归树选择了平方损失函数最小化原则。基尼指数其实和前面提到的熵的概念是很相似的。简单概述区别的话，就是数值相近但不同，而基尼指数在运算过程中的速度会更快一些。

CART 算法也包含了树的修剪。CART 算法从完全生长的决策树底端剪去一些子树，使得模型更加简单。而修剪这些子树时，是每次去除一颗，逐步修剪直到根节点，从而形成一个子树序列。最后，对该子树序列进行交叉验证，再选出最优的子树作为最终决策树。