哥尼斯堡的“七桥问题“---欧拉回路---欧拉图

哥尼斯堡的“七桥问题“

哥尼斯堡是位于普累格河上的一座城市，它包含两个岛屿及连接它们的七座桥，如下图所示。

可否走过这样的七座桥，而且每桥只走过一次？瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler，1707—1783)最终解决了这个问题，并由此创立了拓扑学。

这个问题如今可以描述为判断欧拉回路是否存在的问题。欧拉回路是指不令笔离开纸面，可画过图中每条边仅一次，且可以回到起点的一条回路。现给定一个无向图，问是否存在欧拉回路？

输入格式:

输入第一行给出两个正整数，分别是节点数$N$ ($1\le N\le 1000$)和边数$M$；随后的$M$行对应$M$条边，每行给出一对正整数，分别是该条边直接连通的两个节点的编号（节点从1到$N$编号）。

输出格式:

若欧拉回路存在则输出1，否则输出0。

输入样例1:

6 10
1 2
2 3
3 1
4 5
5 6
6 4
1 4
1 6
3 4
3 6

输出样例1:

1

输入样例2:

5 8
1 2
1 3
2 3
2 4
2 5
5 3
5 4
3 4

输出样例2:

0

七桥问题主要就是判断欧拉图，如果是欧拉图，一定可以找出办法通过所有的桥且仅一次。可惜，格尼斯堡的七桥问题无解，因为它不是欧拉图。

定义：   （参见离散数学课本）

     欧拉通路：通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的通路

     欧拉回路：通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路

     欧拉图：具有欧拉回路的图

     半欧拉图：具有欧拉通路而无欧拉回路的图      //规定平凡图是欧拉图

判断欧拉图：

     定理： 无向图G是欧拉图当且仅当G是连通图且没有奇度顶点

           有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的入度等于出度

判断半欧拉图：

     定理：无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的且恰有两个奇度顶点

          有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的且恰有两个奇度顶点，其中一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点出度比入度大1，而其余顶点的出度等于入度

对于本题，根据定理，只需判断给定的图的连通度是否是1，可以用并查集判断

然后需要判断是否有奇度顶点，可以用邻接表表示，然后数出个数即可。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int n,m,flag = 0;
int f[1001];
vector v[1001];
void init(){
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		f[i] = i;
	}
}
int getf(int a){
	if(f[a] == a) return a;
	return f[a] = getf(f[a]);
}
int merge(int a,int b){
	int ta = getf(a);
	int tb = getf(b);
	if(ta == tb) return 0;
	else f[ta] = tb;
	return 1;
}
int main(int argc, char *argv[]) {
	
	scanf("%d%d",&n,&m);
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(count,0,sizeof(count));
	init();
	while(m--){
		int k = 0,x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		v[x].push_back(y);
		v[y].push_back(x);
		merge(x,y);
		k++;
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		if((v[i].size())&1 == 1) flag = 1;
		for(int j = 2; j <= n; ++j){
		    if(merge(i,j)) flag = 1;
		}
	}
	if(flag) printf("0\n");
	else printf("1\n");
	return 0;
}