张正友标定算法原理详解

张正友标定算法原理详解

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一、背景

  ”张正友标定”是指张正友教授1998年提出的单平面棋盘格的摄像机标定方法[1]。文中提出的方法介于传统标定法和自标定法之间，但克服了传统标定法需要的高精度标定物的缺点，而仅需使用一个打印出来的棋盘格就可以。同时也相对于自标定而言，提高了精度，便于操作。因此张氏标定法被广泛应用于计算机视觉方面。

二、计算内参和外参的初值

1、计算单应性矩阵H

  根据之前博客介绍的摄像机模型，设三维世界坐标的点为 X=[X,Y,Z,1]T ，二维相机平面像素坐标为 m=[u,v,1]T ，所以标定用的棋盘格平面到图像平面的单应性关系为：

s0m=K[R,T]X

其中s为尺度因子，K为摄像机内参数，R为旋转矩阵，T为平移向量。令

K=⎡⎣⎢α00γβ0u0v01⎤⎦⎥

注意，s对于齐次坐标来说，不会改变齐次坐标值。张氏标定法中，将世界坐标系狗仔在棋盘格平面上，令棋盘格平面为Z=0的平面。则可得

s⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=K[r1r2r3t]⎡⎣⎢⎢⎢XY01⎤⎦⎥⎥⎥=K[r1r2t]⎡⎣⎢XY1⎤⎦⎥

我们把K[r1, r2, t]叫做单应性矩阵H，即

s⎡⎣⎢uv1⎤⎦⎥=H⎡⎣⎢XY1⎤⎦⎥H=[h1 h2 h3]=λK[r1 r2 t]

H是一个齐次矩阵，所以有8个未知数，至少需要8个方程，每对对应点能提供两个方程，所以至少需要四个对应点，就可以算出世界平面到图像平面的单应性矩阵H。

2、计算内参数矩阵

由上式可得

λ=1sr1=1λK−1h1r2=1λK−1h2

  由于旋转矩阵是个酉矩阵，r1和r2正交，可得

rT1r2=0||r1||=||r2||=1

代入可得：

hT1K−TK−1h2=0hT1K−TK−1h1=hT2K−TK−1h2

即每个单应性矩阵能提供两个方程，而内参数矩阵包含5个参数，要求解，至少需要3个单应性矩阵。为了得到三个不同的单应性矩阵，我们使用至少三幅棋盘格平面的图片进行标定。通过改变相机与标定板之间的相对位置来得到三个不同的图片。为了方便计算，定义如下：

B=K−TK−1=⎡⎣⎢B11B21B31B12B22B32B13B23B33⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1α2−γα2βv0γ−u0βα2β−γα2βγ2α2β2+1β2−γ(v0γ−u0β)α2β2−v0β2v0γ−u0βα2β−γ(v0γ−u0β)α2β2−v0β2(v0γ−u0β)2α2β2+v0β2+1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

可以看到，B是一个对称阵，所以B的有效元素为六个，让这六个元素写成向量b，即

b=[B11B12B22B13B23B33]T

可以推导得到

hTiBhj=vTijbvij=[hi1hj1hi1hj2+hi2hj1hi2hj2hi3hj1+hi1hj3hi3hj2+hi2hj3hi3hj3]T

利用约束条件可以得到：

[vT12(v11−v22)T]b=0

  通过上式，我们至少需要三幅包含棋盘格的图像，可以计算得到B，然后通过cholesky分解，得到相机的内参数矩阵K。

3、计算外参数矩阵

  由之前的推导，可得

λ=1s=1∥A−1h1∥=1∥A−1h2∥r1=1λK−1h1r2=1λK−1h2r3=r1×r2t=λK−1h3

三、最大似然估计

  上述的推导结果是基于理想情况下的解，但由于可能存在高斯噪声，所以使用最大似然估计进行优化。设我们采集了n副包含棋盘格的图像进行定标，每个图像里有棋盘格角点m个。令第i副图像上的角点Mj在上述计算得到的摄像机矩阵下图像上的投影点为：

m^(K,Ri,ti,Mij)=K[R|t]Mij

其中Ri和ti是第i副图对应的旋转矩阵和平移向量，K是内参数矩阵。则角点mij的概率密度函数为：

f(mij)=12π−−√e−(m^(K,Ri,ti,Mij)−mij)2σ2

构造似然函数：

L(A,Ri,ti,Mij)=∏i=1,j=1n,mf(mij)=12π−−√e−∑ni=1∑mj=1(m^(K,Ri,ti,Mij)−mij)2σ2

让L取得最大值，即让下面式子最小。这里使用的是多参数非线性系统优化问题的Levenberg-Marquardt算法[2]进行迭代求最优解。

∑i=1n∑j=1m∥m^(K,Ri,ti,Mij)−mij∥2

四、径向畸变估计

  张氏标定法只关注了影响最大的径向畸变。则数学表达式为：

u^=u+(u−u0)[k1(x2+y2)+k2(x2+y2)2]v^=v+(v−v0)[k1(x2+y2)+k2(x2+y2)2]

其中，(u,v)是理想无畸变的像素坐标， (u^,v^) 是实际畸变后的像素坐标。(u0,v0)代表主点，(x,y)是理想无畸变的连续图像坐标， (x^,y^) 是实际畸变后的连续图像坐标。k1和k2为前两阶的畸变参数。

u^=u0+αx^+γy^v^=v0+βy^

化作矩阵形式：

[(u−u0)(x2+y2)(v−v0)(x2+y2)(u−u0)(x2+y2)2(v−v0)(x2+y2)2][k1k2]=[u^−uv^−v]

记做：

Dk=d

则可得：

k=[k1 k2]T=(DTD)−1DTd

计算得到畸变系数k。

  使用最大似然的思想优化得到的结果，即像上一步一样，LM法计算下列函数值最小的参数值：

∑i=1n∑j=1m∥m^(K,k1,k2,Ri,ti,Mij)−mij∥2

到此，张氏标定法介绍完毕。我们也得到了相机内参、外参和畸变系数。

参考

1、Zhang, Zhengyou - 《IEEE Transactions on Pattern Analysis & Machine Intelligence》 - 2000
2、J.More.Thelevenberg-marquardtalgorithm,implementationandtheory.InG.A.Watson,
editor,NumericalAnalysis,LectureNotesinMathematics630.Springer-Verlag,1977.