【欧拉函数】（小于或等于n的数中与n互质的数的数目）

【欧拉函数】

在 数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

【证明】：
设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国 剩余定理，A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用 算术基本定理便知，

若

n= ∏p^(α（下标p）)p|n

则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p)

p|n p|n

例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24，与欧拉定理、 费马小定理的关系，对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有a^φ(m)≡1(mod m)即欧拉定理：当m是质数p时，此式则为：a^(p-1)≡1(mod m)即费马小定理。（慢慢理解~~）
代码实现：（写一遍欧拉函数，加深印象！）
在线版：

#include 
using namespace std;
int eular(int n)
{
    int res=1;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
           n/=i,res*=i-1;//保证i一定是素数
            while(n%i==0)
                n/=i,res*=i;
        }
    }
    if(n>1)
       res*=n-1;
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
      printf("%d\n",eular(n));
    }
    return 0;
}

预处理

#include 
using namespace std;
const int N=le5+5;
int phi[N];
void pre_eular()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2; i

欧拉函数的和：phi_sum(n) = the sum of phi(i) where gcd(i,n) = 1 and 1 <= i <= n
1）phi_sum(n) = n * phi(n) / 2 (n >= 2)
2）phi_sum(n) = 1 (n == 1)