C++ 数据结构（四）栈与队列（2）栈应用（2）栈混洗与括号匹配

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典型应用场合

1、逆序输出（conversion）

输出次序与处理过程颠倒，递归深度和输出长度不易预知

2、递归嵌套（stack permutation + parenthesis）

具有自相似性的问题可递归描述，但分支位置和嵌套深度不固定

3、延迟缓冲（evaluation）

线性扫描算法模式中，在预读足够长之后，方能确定可处理的前缀

4、栈式计算（RPN）

基于栈结构的特定计算模式

括号匹配

实例

观察：除了各种括号，其余符号均可暂时忽略

尝试

0、平凡：无括号的表达式是匹配的

1、减治？

2、分治？

然而，根据以上性质，却不易直接应用已知的策略

究其根源在于，1 和 2 均为必要性，比如反例：

构思

颠倒以上思路：消去一对紧邻的左右括号，不影响全局的匹配判断。亦即：

那么，如何找到这对括号？

再者，如何使问题的这种简化得以持续进行？

顺序扫描表达式，用栈记录已扫描的部分

反复迭代：反遇 (，则进栈；凡遇 )，则出栈

实现

bool paren(const char exp[], int lo, int hi) // exp[lo, hi)
    Stack<char> S; // 使用栈记录已发现但尚未匹配的左括号
    for (int i = lo; i < hi; i++) // 逐一检查当前字符
        if ('(' == exp[i]) S.push(exp[i]); // 遇左括号：则进栈
        else if (!S.empty()) S.pop(); // 遇右括号：若栈非空，则弹出左括号
        else return false; // 否则（遇右括号时栈已空），必不匹配
    return S.empty(); // 最终，栈空当且仅当匹配
}

实例

拓展

从实例可以看出，明明直接使用 计数器 即可判断括号是否匹配，为何还要使用 栈结构 呢？

反例：[ ( ] )，如果使用计数器，那将会显示匹配，然而事实上括号种类不同，并不匹配

因此，栈结构的思路和算法，可便捷地推广至多种括号并存地情况

甚至，只需约定“括号”地通用格式，而不必事先固定括号地类型与数目

如：|，

|

，|，

|

，

栈混洗

所谓地栈混洗，就是根据某种约定地规则，对栈内元素进行重新排序。

考查栈：A = < a1, a2, ..., an ]、B = S = Ø，左端为栈顶

只允许：将 A 的顶元素弹出并压入 S（S.push(A.pop())），或将 S 的顶元素弹出并压入 B（B.push(S.pop())）

若经过一系列以上操作后，A 中元素全部转入 B 中，B = [ a(k1), ..., a(kn) >，右端为栈顶

则称之为 A 的一个栈混洗（stack permutation）

计数

同一输入序列，可有多种栈混洗

[ 1, 2, 3, 4 >, [ 4, 3, 2, 1 >, [ 3, 2, 4, 1 >, …

长度为 n 的序列，可能的栈混洗总数：

$$SP(n)=\sum _{k=1}^{n}SP(k-1)\ast SP(n-k)=catalan(n)=\frac{(2n)!}{(n+1)!n!}⩽n!$$

甄别

输入序列 < 1, 2, 3, ..., n ] 的 任一排列 [ p1, p2, p3, ..., pn > 是否为栈混洗？

简单情况：< 1, 2, 3 ], n = 3

栈混洗 6! / 4! / 3! = 5 种，全排列 3! = 6 种，少了一种？少的是 [ 3, 1, 2 >

观察：任意三个元素能否按某相对次序出现于混洗中，于其他元素无关。123 不能混洗成 312，这是一类 禁形

故推广：对于任何 1 ≤ i < j < k ≤ n, [ ..., k, ..., i, ..., j, ... > 必非栈混洗

反过来，不存在 312 模式的序列，一定是栈混洗吗？

甄别算法

充要性：A permutation is a stack permutation iff, it does NOT involve the permutation 312

如此，可得一个 O(n^3) 的甄别算法

[ p1, p2, p3, ..., pn > 是 < 1, 2, 3, ..., n ] 的栈混洗，当且仅当对于任意 i < j，不含模式 [ ..., j+1, ..., i, ..., j, ... >

如此，可得一个 O(n^2) 的甄别算法

直接借助栈 A、B 和 S，模拟混洗过程。每次 S.pop() 之前，检测 S 是否已空；或需弹出的元素在 S 中，却非顶元素

如此，可得一个 O(n) 的甄别算法

栈混洗与括号匹配

观察：每一栈混洗，都对应于栈 S 的 n次push 与 n次pop 操作构成的序列

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