模拟信号数字化01----采样定理

                              一、概述

      模拟信号数字化在数字通信系统的结构中属于信源编码的内容。信源编码包含：数字化（最基本）和信源压缩编码。

      以语音信号为例，语音信号数字化的方法大致可分为：波形编码，参量编码和混合编码。

1.波形编码

      波形编码是直接把时域波形变换为数字代码序列，比特率通常在范围内，接收端重建信号质量好。目前使用最普遍的波形编码方法有：脉冲编码调制，差分脉冲编码调制，增量调制。

波形编码的模数变换过程一般包含三个步骤：抽样，量化，编码。其图解可表示为：

抽样信号时间上离散，取值上量化，量化信号取值上也是离散的，编码信号是将量化信号以二进制码的方式表达出来。

波形编码直观但数据量大。

2.参量编码

        数据量相对小很多，利用信号处理技术，提取语音信号的特征参数，再变换成数字代码，它着眼于构造语音生成模型，接收端根据该模型还原生成语音。
根据语音形成过程，可以提炼出语音信号的合成滤波器模型：

                     

有语音合成器后，就无需直接对语音波形进行编码，只需提取出声道激励信号等相关参数来编码，从而减少了数据量。

参量编码器也被称作声码器，可分为：通道声码器，共振峰声码器，线性预测声码器（最成功）。

     

参量编码的比特率在以下，其接收端重建信号的质量不如波形编码质量好。

混合编码

混合编码将两者的优点结合起来，所以效果更好。
 

                               二、采样定理

1.概述

我们以波形编码为例，其第一个步骤为抽样。采样定理（奈奎斯特定理）说明了信号的采样频率与信号频率之间的关系。

奈奎斯特定理：对一个频带有限的模拟信号抽样，当抽样速率达到一定数值时，根据它的抽样值就能重建原信号。也就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，只需传输按采样定理得到的抽样值即可。采样实现过程如图所示：

                                      此时得到的由于幅度还是连续的，故仍然是模拟信号。

根据信号是低通型的还是带通型的，采样定理可分为低通采样定理和带通采样定理；
根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等间隔的，又分为均匀采样和非均匀采样；

根据抽样的脉冲序列是冲激序列还是非冲激序列，又可分为理想采样和实际采样。

2.低通模拟信号的采样定理

1） 定理的证明   

        若信号的频率限制在,则以时间间隔为的周期性时间脉冲序列采样时，将被所得到的采样序列所完全确定。从频域看，要求采样速率,否则会产生混叠失真。

                     

由的图像可知，若其频率间隔,其频谱无重叠，就可以通过低通滤波器完全重建原信号。称为奈奎斯特采样速率。相应的最大抽样间隔称为奈奎斯特采样间隔。

                              

                     

2）采样信号的恢复原理框图可表示为：

频域上可表示为：

                                 

输出的形式为：

                                

        式中是在时刻上的抽样值，该重建信号的时域表达式称为内插公式，说明以那奎斯特速率采样的带限信号可以由其样值利用内插公式重建，其等效为将抽样值通过一个的理想低通滤波器来重建。如图所示：

                                             

【notice】：实际中理想低通滤波器是不能实现的，实际中采样频率要大于

3.带通模拟信号的采样定理

1）带通模拟信号的采样问题的引出

实际中遇到的许多信号是带通型信号。对带通信号的采样，为了无失真恢复原信号，采样后的信号频谱也不能有混叠。
 

设带通模拟信号的频率限制在fL和fH之间。若采用像低通模拟信号的采样频率，即采样频率，则

                    

由图发现之间的频带没有利用到，这样采样降低了信道的利用率。

2）带通模拟信号的采样定理

       对于带通信号,频率限制在,则通带,若采样频率,其中,[]是取整函数。则可完全由其采样值确定。

与  关系:

                         

对于高频和中频信号，都属于窄带信号，抽样速率都近似为略大于

为了保证采样后信号不产生频谱混叠，可以很容易证明，采样速率应满足该式：，其中N是正整数

且满足：。

4.实际采样

首先看模拟脉冲调制：

     高频模拟调制中，我们用连续震荡的正弦信号作为载波进行调制，如果把这种连续波调制的概念引入到采样过程中也可把周期性脉冲序列看成是一种非正弦载波，那么采样过程就是一种幅度调制的过程。用模拟基带信号去控制脉冲序列的幅度，使其按的规律变化。

     继续引申这个概念，用周期性脉冲序列作为载波的一种调制方式，称为模拟脉冲调制。按照基带信号改变脉冲序列各参数，如改变幅度，宽度，位置，响应的可以分为：脉冲振幅调制（PAM），脉冲宽度调制（PDM），脉冲位置调制（PPM）

                        

1)脉冲振幅调制PAM    

     PAM是脉冲载波的幅度随线性变化的一种调制方式，理想采样的结果就是一个脉冲振幅调制信号，PAM是模拟信号数字化的必经之路。

    采样定理中用于抽样的理想冲激序列现实中不存在，因为冲激序列在瞬间是趋于无穷大的，实际的是幅度有限的窄脉冲序列。

可以证明，用实际抽样脉冲序列采样时，采样定理仍然正确。用窄脉冲进行实际采样有两种方式----自然采样和瞬时采样。

    自然采样的PAM

     采样后信号的脉冲顶部随被采样信号的变化而变化，或者说保持了的变化规律。

                   

自然采样的脉冲调幅原理图为：

          

 

与理想采样原理很相似，唯一区别就是吧理想采样中的冲激序列换成窄脉冲序列。

自然采样过程的波形和频谱;

              

对比理想采样：

理想采样
自然采样

 

尽管理想采样的值在各点不同，但是也可以通过一个低通滤波器恢复原信号。

    瞬时采样的PAM

     与自然采样的不同是采样后脉冲的顶部仍然是平坦的（如图），故又称为平顶抽样：

                

     平顶抽样信号在原理上可以有理想采样和脉冲形成电路组成，原理如图：

                  

    基带信号经过理想采样后的信号相当于是由一系列被采样值加权的冲激序列组合而成，接着经过矩形脉冲形成器,接着在输出端产生幅度为的矩形脉冲序列,此为平顶采样信号，相应信号的频谱表达式可以表示成：

         

可见平顶采样信号的频谱是一系列被加权后的周期性重复的所叠加而成。

 

相应图像为：

                        

    由于并非常数值，而是随变化的函数，如果直接用低通滤波器恢复，那么结果必然会出现失真，此为孔径效应失真。

    那么如何恢复？采用修正+低通滤波

           

 

    也就是在经低通滤波器之前，先经过一个特性为的频谱矫正网络加以修正，这样就可以去点加权因子的影响，在通过低通滤波器，就可以实现无失真传输。

     上述PAM信号，由于他们抗干扰能力差，目前很少使用，已被性能良好的脉冲编码调制PCM信号所取代。