数值分析读书笔记（5）数值逼近问题(I)----插值极其数值计算
给出一般性的插值概念
给定,已知它在n+1个互异的节点上的函数值为
目的即寻求,使得
令所有的组成,通常是有限维线性空间,记
其中为一组基, 于是有
故我们可以利用序列来确定, 这里的就是插值函数
通过概念我们可以看出来,目的就是让插值函数去接近给定的函数
1.关于多项式插值
当给定插值函数是多项式函数的时候, 我们可以产生一种插值的方案, 下面介绍一下Lagrange插值
令
由于
得系数阵为
由Vandermonde行列式的特性,我们可以知道
若互异,则有唯一解
构造插值基函数
时,,故
又对于 由于当仅当,故
所以可以得到
我们将回代回去,则有
令
上式即为所求的Lagarange插值函数
这里为了运算记录方便, 记
则有
故
下面继续讨论Lagrange插值的误差,引入误差余项
我们引入一个辅助函数
令
这里面对于辅助函数的构造,其中末尾一项是保证当x等于节点中的一个时,误差为0
其中
是辅助函数的n+2个相异的零点
注意到Rolle定理
以上是关于Lagrange插值的介绍,针对Lagrange插值,节点个数的增加或者减少的时候,插值基函数需要变动,为了解决这一问题,我们引入Newton插值
这里引入差商(Difference Quotient)的概念
我们可以利用这里的差商的概念写出Newton插值公式
其实Newton插值公式和Lagrange插值公式其实本质上是一样的,只不过是书写的方式不同,但是这样的不同的书写方式在实际操作中带来了很大的便利,当需要增加一个插值点的时候,只需要在原插值多项式的后面再添加一个新的项就可以了
有时候我们不但要求插值函数P(x)在节点处的函数值与被插值函数f(x)的值相等,而且要求在节点处的导数值也相等,这就引出了了一种新的插值方案Hermit插值
我们这次要构造的多项式比起之前的lagrange多项式,多了导数值相等的条件,那我们就利用两组基函数来试着构造这一多项式
这里我们需要提及的是,使用上述方法对各个节点进行插值的时候,很有可能在端点处产生一定程度的Runge现象,解决的手段可以使用分段线性插值构造出一系列的分段函数,对于分段线性插值,我们可以理解为对于多个划分的子区间进行Lagrange插值得到的一系列分段函数,当然分段插值也有非线性的,例如分段的二次插值,就是在划分的多个子区间上使用Lagrange2次插值.
这里由于某些教材的不同,可能介绍了Hermit三次插值的方案,在上述的公式中可以令n=1即可.