数学竞赛中数论问题及几何解题心得分享

1．奇偶性

- [ ]     奇+奇=偶 奇×奇=奇

- [ ] 　　奇+偶=奇奇×偶=偶

- [ ] 　　偶+偶=偶偶×偶=偶

 

2．位值原则

- [ ] 　　形如：abc =100a+10b+c

 

3．数的整除特征：

- [ ] 　　整除数特征

- [ ] 　　2 末尾是0、2、4、6、8

- [ ] 　　3 各数位上数字的和是3的倍数

- [ ] 　　5 末尾是0或5

- [ ] 　　9 各数位上数字的和是9的倍数

- [ ] 　　11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数

- [ ] 　　4和25 末两位数是4（或25）的倍数

- [ ] 　　8和125 末三位数是8（或125）的倍数

- [x] 　　7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数

 

4．整除性质

- [ ] 　　①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。

- [ ] 　　②如果bc|a，那么b|a，c|a。

- [ ] 　　③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。

- [ ] 　　④如果c|b,b|a,那么c|a.

- [ ] 　　⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

 

5．带余除法

- [ ] 　　一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r

- [ ] 　　当r=0时，我们称a能被b整除。

- [ ] 　　当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r

 

6. 唯一分解定理

　　任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

　　n= p1 × p2 ×...×pk

　　

7. 约数个数与约数和定理

　　设自然数n的质因子分解式如n= p1× p2 ×...×pk 那么：

　　n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)

　　n的所有约数和：（1+P1+P1+…p1 ）（1+P2+P2 +…p2 ）…（1+Pk+Pk +…pk ）

　　

8. 同余定理

　　① 同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)

　　②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。

　　③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

　　④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

　　⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

　　

9．完全平方数性质

　　①平方差： A -B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。

　　②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。

　　约数个数为3的是质数的平方。

　　③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。

　　④平方和。

　　

10．孙子定理（中国剩余定理）

　　11．辗转相除法

　　12．数论解题的常用方法：

　　枚举、归纳、反证、构造、配对、估计