2019-01-01/what's new in conformal bootstrap

和学弟聊天的时候发现了Simmons-Duffin的这个今年在冲绳弦论2018上的review报告。这个今年6月份在Okinawa举行的2018弦论会议，当时我还有关注，可是当时自己不懂bootstrap，这个review就错过了。现在学习了一些知识后，再看这个review，很多问题豁然开朗，新年哈皮了。

CFT是由他的谱还有关联函数完全定义。2点和3点关联函数被共形对称完全确定。有趣的动力学部分由4点函数开始才能体现出来。4点函数又可以分解，把可以用共性对称决定的部分还有理论动力学的OPE部分分离出来，这也是做conformal block的展开。理论的本身crossing symmetry加上unitarity会对OPE做出限制。解这个限制，就是解CFT。利用这个限制，我们用数值的方法对CFT做出一些很精确的预测。这个就是bootstrap的基本概念。

虽然数值的方法在某些CFT里很成功，我们还需要研究其他更一般的CFT，还有去尝试理解为什么bootstrap这么成功。现在最前沿的发展就是Lorentzian inversion formula。 今年的TASI Simmons-Duffin会讲有关的课，由机会去的同学有福了。这个LIF还和另一个概念紧密相关：自旋的解析性。

通过调和分析我们知道，4点函数可以用一组完备基：共性群的principle series，来展开，这组基一般称为分波。与之前的conformal block展开不同，这里每一个分波并不对应一个物理过程。这时物理量储存在展开的系数里。这个系数是conformal dimension和自旋的函数。利用分波的正交性，我们可以把系数提取出来，这就是对应的欧式的inverse formular.

从欧式到Lorentzian我们做一些拓展我们的kinematic的空间，这就需要做一些对kinamatic空间做解析延拓。在做个过程中，分波会发生变化，最后我们提取系数的积分公式也会发生变化，最终结果是我们要对一个新的分波还有4点函数的在实数轴上的不连续积分。分波的变化，使conformal dimension 和自旋发生了交换，因为conformal
dimension在之前是连续的，那么这变化之后，自然我们可以使自旋变得连续。

LIF有什么用呢？他使我们做large 自旋perturbation变得一场容易。我们只需要在LIF里去large spin就可以了。在这个极限下，分波近似为z^j，所以积分时只有z趋近于1的时候才有贡献。当z趋向于1的时候，4点函数可以做t-channel的conformal block展开。这样我们可以逐级计算每一个block对OPE系数的贡献。但是又出现了新的问题，只考虑几个block的贡献的时候，我们可以得到一些有用的结果，但是很快我们发现，要得到物理的结果，我们需要在t-channel里所有高阶的贡献求和才行。怎么很好的去控制这些修正，我们需要而外一个parameter。

Large N理论正好提供了N这个变量。对N展开后，我们发现在N展开的某一阶里，只有特定的t-channel的阶数有贡献。情况就是，当考虑N展开的第一阶的时候，只需要考虑t-channel里的第一阶的贡献。然后下一阶N展开，我们只需要前面一阶的结果，这就了一个递推关系。

自旋的解析性可以这样理解，刚才提到在large 自旋的极限下，分波近似于z^j，当z在复数域积分的时候，只有当j时整数的时候，才是单值解析函数。但是通过LIF，我们只需要对实数轴上的不连续积分。所以在LIF的表达式里，z只取实数，这样对于任意的j，都是解析的了。

要求POE系数对于自旋解析是因为，我们可以利用resummation formular来表示4点函数。在4点函数conformal block展开后，我们要对所有的自旋就和，这些自旋都是物理的取正整数。我们把这个就和变为一个沿着实轴积分，如果OPE系数对自旋解析，我们可以变换积分区域，在Regge 极限 （无穷的boost）下，然后这个积分可以有在复数域上的一个pole的结果来近似，这个就是CFT的Regge 理论啦。

Simmons-Duffin的slides 这里可以下载https://indico.oist.jp/indico/event/5/picture/119.pdf
Youtube上也有视频。