有限元分析的基本知识

平面问题一般以三角形单元矩形单元为最基本的划分单元。

单元分析过程中包括:位移函数的选取,单元刚度矩阵的建立,整体刚度矩阵的集成过程,等效节点荷载的计算,边界条件的处理。

 

有限元法的基础是将连续体离散为简单形状单元体的集合,有限元法中,单元与单元之间的设置的相互连接点,称为节点。单元,结点,结点连接构成的集合称为有限元模型。

有限元的基本思路:将连续体离散为有限单元的几何后,以节点的位移作为未知量。以离散的位移场代替连续的位移场。弹性体内实际的位移分布,可以用单元内位移分布函数(单元位置函数=单元位移模式)近似描述。

 

一.分析  三结点三角形单元

单元的位移向量和节点力向量(节点力向量是指某个节点和周边相邻节点产生位移时,才使得该结点产生节点力)

1位移函数选取

2单元应变场的表达

3单元应力场的表达

4单元刚度矩阵

5整体刚度矩阵

 

(计算单元刚度矩阵和等效单元荷载向量,由此形成总体的刚度矩阵和整体的荷载向量

整体刚度矩阵是由各个单元矩阵按照各自的贡献组装起来的,根据局部编码和整体编码之间的关系,确定各单元刚度矩阵中的元素再整体刚度矩阵中的位置)

 

6等效结点荷载

(将荷载移置成等效节点荷载,然后按节点换码将节点荷载组装成整体荷载向量  每个结点有两个自由度。)

7约束条件的处理

(约束条件的引入可以采用将受约束的自由度相应的主对角线元素置大数的办法,一般采用置1法,将结构自由度分为非零位移自由度和刚性约束自由度   ,将刚性约束相应的刚度主对角线上的元素“置1 “,而该元素所处的行列的其他元素“置零“)

 

采用三角形单元,计算在给定荷载作用下的弹性力学平面静力问题。

 

基本过程:开始--à输入原始数据-à组成整体刚度矩阵--à组成整体载荷矩阵--à引入边界条件--à解刚度方程,输出位移---à求应变,输出应变--à求应力,输出应力----à求支反力,输出支反力---à结束

 

 

二.分析 平面矩形单元  --四结点矩形单元

 

单元位移场

单元应力场

单元刚度矩阵

 

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