20ZR暑期联赛班 图论

P1351 联合权值

无向连通图 G G G n n n 个点, n − 1 n-1 n1 条边。点从 1 1 1 n n n 依次编号,编号为 i i i 的点的权值为 W i , W_{i}, Wi, 每条边的长度均为 1 1 1。图上两点 ( u , v ) (u, v) (u,v) 的距离定义为 u u u 点到 v v v 点的最短距离。对于图 G G G 上的点对 ( u , v ) , (u, v), (u,v), 若它们的距离为 2 2 2 则它们之间会产生 W u × W v W_{u} \times W_{v} Wu×Wv 的联合权值。请问图 G G G 上所有可产生联合权值的有序点对中,联合权值最大的是多少? 所有联合权值之和是多少? 1 ≤ n ≤ 200000 1 \leq n \leq 200000 1n200000

枚举点对一定是不行的,有一个直接的思路是枚举 ( u , v ) (u,v) (u,v) 中的一个,再去找另一个,可以通过,但造数据的不知道菊花图这东西。

那么可以树形 dp,这个和枚举中转点是相似的。考虑 x x x 的儿子 y 1 ∼ y k y_1 \sim y_k y1yk 能找到那些点对。简单的是 y 1 ∼ y k y_1 \sim y_k y1yk x x x 的父亲组合,也可以从 y 1 ∼ y k y_1 \sim y_k y1yk 中随意选两个。但直接做的话还会倒在菊花图下。

考虑 k = 2 k=2 k=2 y 1 × y 2 = ( y 1 + y 2 ) 2 − ( y 1 2 + y 2 2 ) 2 y_1 \times y_2 = \frac{{(y_1 + y_2)}^2 - ({y_1}^2+{y_2}^2)}{2} y1×y2=2(y1+y2)2(y12+y22)。推下去发现 y 1 ∼ y k y_1 \sim y_k y1yk 的两两组合贡献为 ( ∑ 1 k y i ) 2 − ∑ 1 k y i 2 (\sum_{1}^k y_i)^2 - \sum_{1}^k y_i^2 (1kyi)21kyi2。至此可以通过了。

P1983 车站分级

n n n 个火车站, m m m 批合法的车次的运行情况。每批车次的运行情况给定了始发站,终点站,途中停靠的车站。请你给每个车站分级,满足要求:如果一趟车停靠的火车站级别为 x x x,那么始发站终点站之间(包括)级别 ≥ x \ge x x 的车站都要停靠。在该条件下,回答火车站至少分成几个级别。

对于给定的 m m m 批车次,先建一个有向图,边的关系即题中的偏序关系,即为将有车停靠的站点连向所有没有车停靠的站点。如果有一条有向边 ( u , v ) (u,v) (u,v) 那么 u u u 必须在 v v v 的前面,这不就是拓扑排序吗?所以一些比较复杂的偏序问题,可以转换到 DAG 上进行拓扑排序 + dp 试一试。

PS,暴力建图复杂度是 O ( n 2 m ) O(n^2m) O(n2m) 的,需要信仰。考虑建立一个虚拟的中转点来优化建图,复杂度为 O ( n m ) O(nm) O(nm)

P4643 阿狸和桃子的游戏

Easy = NOI \text{Easy} = \text{NOI} Easy=NOI

有一张 n n n 个点 m m m 条边的图,有点权和边权。先手后手轮流染黑白两色,最后的得分是自己染的点权和 + + + 两端均为自己的颜色的边权和,双方采用最优策略,求先手的分数减去后手的分数。

不要想歪,这不可能是正儿八经的博弈论,这是联赛啊。先提一下,遇到点权和边权同时存在的题,尤其是其中一个的定义有点与众不同时,考虑能不能把点权和边权转化为一个东西,常为边权转点权。

如果一条边的两个端点同色,那么会给这两个点贡献,先让它平分给两个点。如果两个端点异色,那么两个点都没有贡献,发现平分的话抵消了。所以先把边权平分给点权,带个分数可以同时 × 2 \times 2 ×2

那么将点权拍个序,从大到小交替贪心选即可。女少口啊。

P2680 运输计划

一株 n n n 个点的树,给你 m m m 条路径。 你需要选出一条边把边权改成 0 0 0,让这些路径长度的最大值最小。

二话不说,看到最大值最小先考虑二分。有的边已经满足条件了,不去管。那么要让其余的路径都减小到二分值及其以下,那么改的边要被其余的路径经过。假设有 k k k 条路径超限制,那么把路径上的每个边的计数器累加,最后计数器为 k k k 的取个最值。给定的是树,树上差分即可。

卡常差评。

CF1349C Orac and Game of Life

给定第 0 0 0 时刻的 n × m n \times m n×m 01 01 01 矩阵。 每过一个时刻, 01 01 01 矩阵都会发生如下的变化:对于 x x x 行第 y y y 列的格子。若其上下左右四个方向中相邻的格子存在与其数字相同的格子,则此格子的数字在下一个时刻会取反。

t t t 次询问。每次问你在第 p p p 个时刻第 x x x 行第 y y y 列的格子上的数字是什么。

感觉一下,发现不断变化的位置的范围是在扩大的,而且扩大到一定程度就停下了。这样有点抽象,就拿良心的样例三试一试。

0 1 0 1 1
1 0 1 1 0
0 1 1 0 1
1 1 0 1 0
1 0 1 0 1

0 0 0 表示不会变化, 1 1 1 表示在不断变化。那么范围随单位时间的扩大如下

0 0 0 1 1
0 0 1 1 0
0 1 1 0 0
1 1 0 0 0
1 0 0 0 0

0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 0 0
1 1 0 0 0

可以大胆猜测,每次 1 1 1 都会向四个方向扩展一次。所以一个 bfs 搞定。女少口β可。

CF209C Trails and Glades

给一张图,添加最少的边使得整张图存在一条 1 1 1 为起始和结束点的欧拉回路。 1 ≤ n ≤ 1 0 6 , 0 ≤ m ≤ 1 0 6 1 \leq n \leq 10^{6}, 0 \leq m \leq 10^{6} 1n106,0m106

遇到这类有多个连通块的,往往先考虑连通块内部的贡献,再考虑连通块间的贡献。

从欧拉回路的定义入手,对于一个连通块,将度数为奇数的点两两配对,可能剩下一个。所以先去考虑连通块的连接,优先把度数为奇数的点连起来,那么其余的奇点两两配对。最多剩下一个,这个点要连出两条边。

CF1311E Construct the Binary Tree

给定 n n n d d d,你需要构造一株 n n n 个点的二叉树,满足所有点的深度之和恰好为 d d d

先考虑深度最小的完全二叉树,如果 d d d 比这个深度小那么直接不可能。否则对深度进行修改,找一个叶子节点到根的链,不断把深度最大的点挂在这条链的下面。还要输出方案,啊这。

P1979 华容道

给定一个 n × m n \times m n×m 的棋盘,只有一个空的位置。剩下的有的是障碍,有的是可移动的棋子。给定一个棋子的初始位置和目标位置,求让这个棋子移动到目标位置至少要移动几次棋子,或者回答不可能。 1 ≤ n , m ≤ 30 , 1 ≤ q ≤ 500 1 \leq n, m \leq 30,1 \leq q \leq 500 1n,m30,1q500

吐槽,这道题和图论关系不大啊。

数据范围这么小,先想爆搜,但棋子和空格可以一起走很烦。干脆 dp,设 f i , j , x , y f_{i,j,x,y} fi,j,x,y 为棋子在 ( i , j ) (i,j) (i,j),空格在 ( x , y ) (x,y) (x,y) 的最少移动次数,枚举空格从哪移动过来的,如果空格与棋子相邻,还可以转移棋子。但是 O ( q m 2 n 2 ) O(qm^2n^2) O(qm2n2) 会超时。

考虑空格与棋子相邻才有用,那么设 f i , j , k f_{i,j,k} fi,j,k 为棋子在 ( i , j ) (i,j) (i,j),空格在 ( i , j ) (i,j) (i,j) 的上下左右的最少移动次数。不过这样可能没有初始状态,所以要用 bfs 预处理空格到棋子的上下左右要移动多少次即可。

CF875F Royal Questions

n n n 个王子 m m m 个公主,每一个公主喜欢其中两个王子,还有一个美丽度。 你需要将王子和公主配对,使得每一个公主都和自己喜欢的王子配对,并且配对的公主美丽度之和最大。

n , m ≤ 200000 n,m \leq 200000 n,m200000

带权二分图匹配板子!哦数据范围 2e5 那没事了。

可以发现有一个公主喜欢两个王子的条件,如果构图的话,每个连通块都是树或基环树。这其实是个模板,但是联赛基础不知道 /xk。先试一试对每个连通块讨论,好像行不通,那就从零开始加边吧。

加边前先按美丽度降序排序,对于边 ( u , v ) (u,v) (u,v),两个端点 u u u v v v 可能在一个连通块中也可能不在,可能在树上也可能在基环树上,那分类讨论,要维持一棵基环树的点数一直等于边数。

  • 不连通,在两棵树中:加入这条边,得到一棵新的树。
  • 不连通,在一棵树和一棵基环树中:加入这条边,得到一棵基环树。
  • 不连通,在两棵基环树中:无法加入。
  • 连通,在一棵树中:加入这条边,树变成基环树。
  • 连通,在一棵基环树中:无法加入。

是不是和生成树有点像?这个模板就叫最大生成基环树,所以用并查集维护,多加一个 bool 数组来表示是不是基环树即可。

BZOJ 2238 Mst

挂一下交题的 Link,黑暗爆炸 OJ。

给定一张图和 q q q 次询问,每次询问你删掉某条边之后最小生成树的大小。询问相互独立。 n ≤ 50000 , m , q ≤ 100000 n \leq 50000, m, q \leq 100000 n50000,m,q100000

在做过删边最短路后 Link,删边最小生成树还是能做的。

先找出一棵最小生成树。

To be continued.

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