水题须知2(数学基础)

一.欧拉函数
1.定义:在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。
2.通式:

(其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数)
3.例题:
12=2 * 2 * 3那么φ（12）=φ（4*3）=φ（2^2 * 3^1）=(2 2-2^ 1) * (3^ 1 - 3^ 0）=4
4.性质:
(1)若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)
(2)特殊性质:
n为奇质数时:φ(2n)=φ(n)

二.费马小定理
1.定义:如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）
2.引理:
引理1:若a，b，c为任意3个整数,m为正整数，且(m,c)=1，则当a·c≡b·c(mod m)时，有a≡b(mod m)。
引理2:m是一个整数且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]是模m的一个完全剩余系，则b·a[1],b·a[2],b·a[3],b·a[4],…b·a[m]也构成模m的一个完全剩余系。

三.扩展欧几里得算法
ax+by=gcd(a,b)
其中:a,b为整数，gcd为最大公约数.

四.逆元
1.定义:逆元是指一个可以取消另一给定元素运算的元素
2.基本概念:
(1)一个存在单位元素e的代数系统(S,o),如果对S内的元素a存在al ^ -1∈S,使得al ^ -1oa=e,则称al^-1为a对运算“o”的左逆元素，亦称左逆元。
(2)一个存在单位元素e的代数系统(S,o),如果对S内的元素a存在ar ^ -1∈S,使得aoar ^ -1=e,则称ar ^ -1 为a对运算“o”的右逆元素，亦称右逆元。
(3)这里的左逆元和右逆元是针对给定运算的某个元素而言的。我们说某个元素有没有逆元素，而不能说某个代数系统有没有逆元素。另外还需要说明：
(1)一个元素可以没有左逆元和右逆元；
(2)一个元素可以只有左逆元；
(3)一个元素可以只有右逆元；
(4)一个元素可以既有左逆元，又有右逆元。

注:内容来自百度百科.