错排问题（组合数学）

f(n)=(n-1)*(f(n-2)+f(n-1));

 

颜书先生《“装错信封问题”的数学模型与求解》一文（见《数学通报》 2000 年第 6 期 

p.35 ），给出了该经典问题的一个模型和求解公式：

 

编号为 1 ， 2 ，……， n 的 n 

个元素排成一列，若每个元素所处位置的序号都与它的编号不同，则称这个排列为 n 

个不同元素的一个错排。记 n 个不同元素的错排总数为 f(n) ，则

 

f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]（ 1 ）

 

本文从另一角度对这个问题进行一点讨论。

 

1. 一个简单的递推公式

 

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成：

 

第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1 

种方法。

 

第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若 1 

号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k 

号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：（ 1 ） k 号元素排在第 1 

个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2) 

种方法；（ 2 ） k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k 

个位置，于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1) 

种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。

 

根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数

 

f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。 （ 2 ）pala提出的问题: 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？ 这个问题推广一下，就是错排问题: n个有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排