2020牛客暑期多校训练营（第二场）
E. Exclusive OR
题意：给你一个长度为n的数组a，求选择一个的最大异或和，两个的最大异或和，三个的最大异或和，....，n个的最大异或和，
每一个数可以选择多次（1 <= n <= 200000, 0 <= a[i] < 2^18）
题解：首先我们知道极限情况下选择2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, ...... , 2^17共18个数，所以选择18个数必能到达最大值，同时在这个极限情况下，选择19个数应该在18个数的基础上异或(2^0)，20个数可以选择两次2^0异或，答案等于18时候的值，也就是说第i(i >= 20)时答案等于i-2时的答案，类推到所有情况可以发现，最多只要求出前19个数即可。做法也很简单，我们知道![\sum_{i=x\bigoplus y}A[x]*B[y]](http://img.e-com-net.com/image/info8/80a2aef6176443b094c51106a8f236b8.gif){kind=small}
（其中A数组表示原数组，B数组表示答案数组），一开始B数组只有0是1，那么我们卷积一次，可以得到所有出现过的数，此时找出最大的答案即可，第二次卷时可以得出选择两个数的所有答案，同理找最大，总共卷19次即可。
异或卷积左拐百度
G. Greater and Greater
题意：给你一个长度为n的数组a，并给你一个长度为m的数组b，现在问你有多少种选择方法使得从a数组中选择连续的长度为m的子数组a'使得a'[i] >= b[i]（1 <= i <= m）(1 <= n <= 150000, 1 <= m <= min(40000, n))
题解：这边介绍两种解法:
1.空间复杂度
,时间复杂度
（其中w=32或者64）
首先声明一点，我们将第m位设为bitset的第0位，第m-1位设为bitset的第1位....
将b数组从小到大排序，并且记录原来每个值的位置
我们定义bitset<40001> bt[40001]，其中bt[i]表示到i位置出现数的原始位置的状态
比如第一个数在原本的最后一个出现，那么bt[1] = 000.....001, 只有第0位为1
预处理下bt
现在我们看以下的一个长度为4的st[4](表示的是a'数组的第一个位置>=b数组的第一个位置, a'数组的第二个位置>=b数组的第二个位置, a'数组的第三个位置>=b数组的第三个位置, a'数组的第四个位置>=b数组的第四个位置，显然选择这个数组满足题目的要求)
，如果将bt[0]向右移动一个位置，那么
，发现st[0],st[1]的2号位相同，那么我们将st[0], st[1]都向右移动一个位置，
，发现st[0], st[1], st[2]位置的1号为相同，那么我们将st[0], st[1], st[2]都向右移动一个位置，
，发现st[0], st[1], st[2], st[3]0号位置都是相同的是1，我们同时发现第i次移动的结果只需要将st[i - 1]的结果&st[i]的结果赋给st[i]即可(即st[i] &= st[i - 1])，但是O(nm)的空间复杂度我们是接受不了的，所以我们对于每一个位置i对应的st[i]可以用bt来表示，通过二分我们可以在b数组中找到最后一个不比a[i]大的，那么st[i]就解决了。这边说明下st是什么:st[i]记录的是所有不比a[i]大的b数组出现的下标位置的状态，上面的例子仅供参考(不具备真实性)。因为一次次的右移并且是&操作，就像上面的例子一样，只要进行m-1次移动并且bitset中0的位置为1时满足题目要求。所以，在遍历数组a之前开一个bitset<40001>ans, 将第m-1位赋上1，然后与上a[1]时的st[1]，.......。注意看我上面的列子，选择长度为m的子数组，都是从选择第一个开始，那么第i个必选（不用管对应的st中是否为1，因为是&操作，如果是0还是0），所以m-1位置都要赋值为1。
2.空间复杂度O(n), 时间复杂度
将b数组从大到小排序
将a数组从大到小排序
初始状态a数组每一个位置都可以作为满足条件的最后一个位置(即第m个位置)，设置一个biset<1500001> ans[m + 1] (ans[0]每一位为1, 这边先开ans[m+1]，便于解释，最后只需要ans[0]就行了，ans[1]可以通过与上ans[0]实现, .......)
设置一个biset<1500001> tmp(每一位为0) 遍历m数组，将比b[i]大的a数组的位置存进tmp中，设当前b[i]对应的位置为x,那么如果向右移动x位置后对应与ans[i - 1]的1位置还是1那么说明a'数组的第i + 1位置（因为是从大到小，顺序倒过来的）存在解, 即ans[i] = ans[i - 1] & tmp, 到最后m个位置遍历完之后，ans[m]中剩下的1的个数就是答案，因为存在1, 2, 3, ..., m位置满足条件。
我个人感觉第二种比较简单，代码也简单。
H. Happy Triangle
题意：有q(<=200000)次操作，
如果op = 1，插入一个x，
如果op = 2，删除一个x，
如果op = 3，查询集合中是否存在两个数y，z，使得x，y，z能构成三角形
x <= 10^9
其中差值用线段树或其他维护即可
K. Keyboard Free
题意：给你一个同心圆，有三个半径r1, r2, r3, 现在告诉你有三个点A, B, C分别在半径为r1, r2, r3的圆上,问你三角形ABC的期望面积。
题解：
A(r1, 0)
B(r2cosβ, r2sinβ)
C(r3cosγ, r3sinγ)
设∠OJA = ε
我们先固定A为x坐标上的一点，BA垂直于X轴，那么我们易发现C到AB的距离为|cosγ - cosβ|，所以高的期望为
现在我们要知道AB的长度，AB：(r2cosβ - r1, r2sinβ)
现在我们要将β和ε 联系起来，这样就只有一个变量了
设OL垂直于AB且焦点为L
我们知道AB的斜率为
，所以∠JAI = ∠OAL = 
，所以
，所以
最终我们要求的面积期望是
把ε带进去，然后我们用自适应辛普森积分做就行了，精度1e-5内没问题
关于自适应辛普森积分，左拐百度。
其他题目就不想写题解了，我太懒了~~~~