【Algo】约瑟夫问题(Josephus problem / Josephus permutation)

Backto Algo Index

---

$N$ 个人围一圈, 选一个人, 从 1 开始计数, 计到第 $k$ 个人出局, 剩下的人组成新环, 再次从 1 开始计数, 计到 $k$ 的人出局. 如此反复, 直到剩下最后一个人, 作为胜利者. 问, 在游戏开始时, 排在第几号位置, 可以保证自己是最后的胜利者?

举一个特例理解题目, 设 $N=6,k=5$, 则这一圈人是

1	2	3	4	5	6	1	…

出局的顺序依次是 5 -> 4 -> 6 -> 2-> 3, 所以开局时候排在第 $1$ 位是胜利者.

编程求解的直接思路: 用一个 循环链表 储存这 $N$ 个人, data 里存一个 bool 值, true 表示还在场上, false 表示出局. 然后循环遍历 $N-1$次, 最后剩下的人就是胜利者. But, 时间复杂度是 $N\times k$, 任何一个数非常大的话, 这个复杂度都是不可接受的.

优化, 重新分析问题, 试图找到其中的隐含规律.
计算机语言问题描述：$n$ 个人（编号$0\to (n-1）$），从$0$开始报数，报到$（m-1）$的退出，剩下的人继续从 $0$ 开始报数。求胜利者的编号。

我们可以确定, 第一个出列的人编号肯定是 $(m-1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$, 那么剩下的 $n-1$ 个人组成新的 约瑟夫环, 新环肯定以 ($k=m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$) 开始, 新环的排序肯定是 $k,k+1,k+2,...,n-2,n-1,0,1,2,...,k-2$. 把这个新环的序号调整一下, 看做一个新的约瑟夫环

• $k\to 0$
• $k+1\to 1$
• $k+2\to 2$
• $...$
• $k-2\to n-2$

也就是说变成了 $n-1$ 个人报数的子问题. 假设我们知道对于这个 $n-1$个人的子问题, 第 $x$ 个人是最终的胜利者, 那么我们再把这个 $x$ 塞回去就是刚好 $n$个人情况下的解了. 变回去的公式就是 $x^{\prime }=(x+k)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$. 因此, 我们知道了 $n-1$ 下的解就可以求出 $n$ 的解, 典型的递归问题.

const int n = 68; // total number
const int m = 3; // kill the m_th person
int f = 0; // safe position
int main()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    	f = (f + m) % i;
    cout << f + 1 << endl; // counts from 1
}

时间复杂度 $O(n)$, 空间复杂度 $O(1)$, 好很多了.

---

Ref

• 约瑟夫问题 – 百度百科 : 问题的起源, 分析求解, 和不同版本语言实现. 想不到浓眉大眼的百度百科还要这么优秀的词条.
• 约瑟夫问题 : 语言实现写的比较详细完整