母函数详解
这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看：
“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”
“母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造”
母函数的定义：
对于序列a0, a1, a2。。。构造函数：
G（x）=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+…...
称函数G(x)是序列a0,a1,a2,……的母函数
这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：
第一种：
有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？
考虑用母函数来解决这个问题：
我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：
1个1克的砝码可以用函数1+x表示，
1个2克的砝码可以用函数1+x^2表示，
1个3克的砝码可以用函数1+x^3表示，
1个4克的砝码可以用函数1+x^4表示，
我们拿1+x^2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（要理解！！！）
我们这里结合前面那句话：
“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”
1+x^2表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x^2表示质量为2的砝码取1个的情况。
这里说一下各项系数的意义：
在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应的砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就应该是0*x^2.
Tanky Woo 的程序人生：http://www.wutianqi.com/
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)*(1+x^2)*(1+x^3)*(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^3)*(1+x^3+x^4+x^7)
=1+x+x^2+2*x^3+2*x^4+2*x^5+2*x^6+2*x^7+x^8+x^9+x^10
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数（！！！经典！！！）
例如右端有2*x^5项，即称出5克的方案有2种：5=3+2=1+4；同样，6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4故称出6克的方案有2种，称出10克的方案有1种。
接着上面，接下来是第二种情况：
求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。
G(x)=(1+x+x^2+……)(1+x^2+x^4+…...)(1+x^3+x^6+……)
展开以后的x^4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；
即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2;
这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：
所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放在n个无标志的盒子里，盒子允许为空，也允许放多余一个球）
整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。
现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：
G(x)=(1+x+x^2+……)(1+x^2+x^4+x^6+……)(1+x^3+x^6+x^9+……)
#include
using namespace std;
#define max 10001;
//c1 是保存各项质量砝码可以组合的数字
//c2 是中间量，保存每一次的情况
int c1[max],c2[max];
int main()
{
int num,i,j,k;
while(scanf("%d",&num)!=EOF)
{
for(i=0;i<=num;i++)//首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x^2+x^3...+x^n)初始化，把质量从0到n的所有砝码都初始化为1
{
c1[i]=1;
c2[i]=0;
}
for(i=2;i<=num;i++)//i从2到n遍历，这里就是指第 i 个表达式，上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式
{
for(j=0;j<=num;j++)//j从0到n遍历，这里就是(前面i个表达式累乘的表达式)里第j个变量。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，这时候j应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数.
for(k=0;k+j<=num;k=k+i)//k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）
c2[k+j]=c2[k+j]+c1[j];
}
for(j=0;j<=num;j++)//把 c2 的值赋给c1，而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的
{
c1[j]=c2[j];
c2[j]=0;
}
printf("%d\n",c1[num]);
}
return 0;
}
计算整数n的所有划分方法
通过母函数模板来求解
多项式：(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)*(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10+....)*(1+x^3+x^6+x^9+x^12....).....(#式)
母函数就是展开#式多项式，得到最后多项式的系数。
c1、c2存储多项式的系数，比如多项式1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....,c1[0]=1,c1[1]=1,...,表示x的系数为多少,如c2[3]=5,表示5x^3。
c1保存最终的系数，c2保存当前相乘的2个多项式系数，如下：
第一个多项式(1+x+x^2+...)[i=1],我们直接保存在c1中，即c1[0...n]=1,
在上面保存的多项式(1+x+x^2+...)(1)，与下一个括号(1+x^2+x^4+...)[i=2](2)相乘,模拟手工计算:
* 一、(1)中的1[j=0]和(2)中的每项[k=0...n]相乘，得到1+x^2+x^4+...，再把x^0(1)和(1+x+x^2+...)合并同类项c1[0],即幂数相同的系数相加，
* 如x^2和(1+x+x^2+...)中的x^2系数相加，而(1+x+x^2+...)所有系数保存在c2数组中，所以和c1[2]的值相加，
* x^4在和(1+x+x^2+...)的c1[4]值相加，这样一直下去一直到整数n，因为整数拆分方案数就是最后x^n的系数。
* 二、(1)中的x[j=1]和(2)中的每项[k=0...n]相乘，得到x+x^3+x^5+...,在按照上面方法和c1合并相同幂的项，放到c2,比如x[j=1]和k[k=0]相乘,
* 即x^1 * x^0 , 得到的系数j+k,x^k[k=0]是(2)式得到的，系数为1,但x[j=1]的系数是c1[j],所以 x^(j+k)的系数是c2中原来的系数+c1[j]的值,因x^k系数为1，忽略。
* 三、这样循环下去，即可把(1+x+x^2+...)(1)，(1+x^2+x^4+...)[i=2](2)展开，且各指数的系数放在c2中。在把c2中的系数放到c1中，计算与第三个式子展开(1+x^3+x^6+...)，
* 依次类推，一直到n
* @param n 待划分的数
* @return 划分方案数
几道相关的题目：
（相应题目解析均在相应的代码里分析）
1. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
代码：http://www.wutianqi.com/?p=587
这题大家看看简单不？把上面的模板理解了，这题就是小Case!
看看这题：
2. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
代码：http://www.wutianqi.com/?p=590
要说和前一题的区别，就只需要改2个地方。在i遍历表达式时（可以参考我的资料—《母函数详解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~
3. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085
代码：http://www.wutianqi.com/?p=592
这题终于变化了一点，但是万变不离其中。
大家好好分析下，结合代码就会懂了。
4. 题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171
代码：http://www.wutianqi.com/?p=594
还有一些题目，大家有时间自己做做：
HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152
做此类的题最重要的对第一个多项式进行初始化
1：通过第一个的个数进行初始化
2：通过价值初始化即初始化的个数为n个，然后只有具有价值的才进行初始化其次对第二个多项式与第一个多项式进行相乘
第二个多项式1：是从指数是0开始遍历，并且控制指数的变化是按价值成倍改变的，同时要控制个数。
poj 1085
#include"iostream"
using namespace std;
int main()
{
int c1[10002],c2[10002];
int i,j,k,z;
int num[4];
int max;
while(cin>>num[1]>>num[2]>>num[3]&&(num[1]+num[2]+num[3]))
{
max=1*num[1]+2*num[2]+5*num[3];
for(i=0;i<=max;i++)
{
if(num[1]>=i)//
对第一个多项式进行初始化
c1[i]=1;
else
c1[i]=0;
c2[i]=0;
}
for(i=2;i<=3;i++)
{
for(j=0;j<=max;j++)
{
for(k=0,z=0;k+j<=max&&z<=num[i];i==2?k+=2:k+=5,z++)//既要控制第二个多项式的个数又要控制他的价值
c2[k+j]+=c1[j];
}
for(j=0;j<=max;j++)
{
c1[j]=c2[j];
c2[j]=0;
}
}
for(i=1;i<=max;i++)
if(c1[i]==0)
break;
cout<
}
}