三点定位法原理及实现——蓝牙定位

前言

最近在做蓝牙室内定位，蓝牙定位用到的一个非常经典的算法就是三点定位法。

原理

三点定位法，顾名思义首先有三个圆点，同时我们也知道这三个圆的半径，最终求得三圆的交点，达到定位效果。如图：

我们的目的是求得O点，利用毕达哥拉斯定理我们可以快速求得O点坐标。不过事与愿违，现实情况并不总是如人意，而是这样：

甚至有的情况其中两个圆或者三个圆完全就不相交，如下图：

由于这些误差原因，实际上想要准确的知道使用者当前位置是相当困难的，但是我们可以通过运算得到一个近似解。为了应付这些情况，我们需从两个圆入手，先找到两两圆之间的中心点，再求三圆的中心点。

除去圆中圆的情况（现实基本上不存在），两圆关系可分为两种，相交，不相交。

两圆相交

可知此时两圆交点A，B，我们的目标点是AB中点C。根据勾股定理我们可知
$$\{\begin{array}{l}PQ=PC+QC\\ Q{A}^2=Q{C}^2+A{C}^2\\ P{A}^2=P{C}^2+A{C}^2\end{array}$$
解得：
$$PC=\frac{PQ}{2}+\frac{P{A}^2-Q{A}^2}{2PQ}$$
根据比例关系求得坐标：
$$\{\begin{array}{l}x=x_P+\frac{(x_Q-x_P)PC}{PQ}\\ \\ y=y_P+\frac{(y_Q-y_P)PC}{PQ}\end{array}$$

两圆不相交

如图，我们需要求O点，简单的做法就是直接根据半径比例计算
$$\{\begin{array}{l}sum=r_P+r_Q\\ \\ x=x_P+\frac{(x_Q-x_P)r_P}{sum}\\ \\ y=y_P+\frac{(y_Q-y_P)r_P}{sum}\end{array}$$

代码实现

struct Point{             //点坐标
	int x;                //x轴
	int y;                //y轴
	Point() :x(0), y(0) {};
};

//三点定位法
//dis:半径
//points：圆心
Point threePoints(float *dis, Point *ps) {
	Point p;
	if (dis == NULL || ps== NULL)
		return p;

	for (int i = 0; i < 3; ++i) {
	    //检查距离是否有问题
		if (dis[i] < 0)
			return Point();

		for (int j = i + 1; j < 3; ++j) {
		    //圆心距离
			float p2p = (float)sqrt((ps[i].x - ps[j].x)*(ps[i].x - ps[j].x) +
				                    (ps[i].y - ps[j].y)*(ps[i].y - ps[j].y));
		    //判断两圆是否相交
			if (dis[i] + dis[j] <= p2p) {
			    //不相交，按比例求
				p.x += ps[i].x + (ps[j].x - ps[i].x)*dis[i] / (dis[i] + dis[j]);
				p.y += ps[i].y + (ps[j].y - ps[i].y)*dis[i] / (dis[i] + dis[j]);
			}
			else {
			    //相交则套用公式（上面推导出的）
				float dr = p2p / 2 + (dis[i] * dis[i] - dis[j] * dis[j]) / (2 * p2p); 
				p.x += ps[i].x + (ps[j].x - ps[i].x)*dr / p2p;
				p.y += ps[i].y + (ps[j].y - ps[i].y)*dr / p2p;
			}
		}
	}
	
    //三个圆两两求点，最终得到三个点，求其均值
	p.x /= 3;
	p.y /= 3;

	return p;
}