计算机如何存储浮点数

浮点数比较结果如上图，为什么会不一致呢？

IEEE 浮点标准

根据IEEE 浮点标准，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

V = (-1)^s × 2M × 3^E

1.符号(sign) s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
2.尾数(significand) M是一个二进制小数，1≤M<2。
3.阶码(exponent) E的作用是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂(可能是负数)

比如十进制的11.0，写成二进制就是1011.0，用IEEE标准表示就是(-1)^0 × 1.011 × 2^3 ，s=0，M=1.011，E=3。

那么，计算机是如何存储s，M，E这三个值呢？如果是一个单精度(32位)浮点数，计算机会在内存中开辟一个32位的存储空间，最高1位保存s，中间8位保存E，最后23位保存M。

如果是一个双精度(64位)浮点数，则开辟64位的存储空间，最高1位保存s，中间11位保存E，最后52位保存M。

• 对于符号s，存储值非0即1。
• 对于尾数M，只保存后面的小数部分。这是由于1≤M<2，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，这样做的好处是可以节省一位有效数字。
• 而对于阶码E，情况较为复杂。首先，E要通过中间值换算得到真实值。这是由于E要能够表示负数，也就是负次幂。而E本身是无符号的，因此IEEE浮点标准规定，在计算真实值时，E要减去一个中间值。单精度情况下，E减去127，双精度情况下，E减去1023。以二进制数1011.0为例，E的真实值是3，但是存储在计算机中是3+127=130(单精度)，换算成二进制就是10000010。

精度丢失

了解了原理，现在我们可以开始分析精度丢失的原因，下面我们来模拟计算机的运算过程。

• 第一步，将十进制结果转换成二进制。文章开头的例子中，十进制结果是2.7，由于2.7无法用二进制精确表示，因此出现第一次精度丢失。

  2.7 => 10.10110011001…
  

• 第二步，用IEEE标准表示二进制浮点数，得到s=0，M=1.010110011001…，E=1。

  10.1011001… => (-1)^0 × 1.01011001… × 2^1
  

• 第三步，按照IEEE标准保存数据。此时是单精度浮点数，M只能保存小数点后23位，多余的部分被丢弃了，因此出现第二次精度丢失。下面是计算机中实际保存的结果。

  1位	8位	23位	丢弃
  0	10000000	01011001100110011001100	11001…

• 第四步，从内存中取出二进制数值，还原成十进制后显示在屏幕上。由于前面已经经历了两次精度丢失，因此还原出来的结果也就不正确了。

如何避免精度丢失

1. 使用整数替代浮点数。二进制整数可以完整的表示所有十进制整数，不存在精度丢失问题，因此我们可以将小数位数固定或者较少的数字转换成整数存储。比如存储货币金额，如果存储单位是元，则需要保留两位小数，例如23.45元。如果将单位改成分，则可以完全使用整数存储，例如2345分。
2. 使用特殊类处理高精度运算。例如JAVA中的Bigdecimal类。不过要注意，使用这些特殊类虽然可以解决精度问题，但有可能带来其它问题，JAVA中的Bigdecimal类在处理性能上就比float和double要低很多。