扩展KMP（exkmp）

扩展KMP

$exkmp$ 求解的问题：对于给定的主串 $S$ ，和模式串 $T$ ，求出主串 $S$ 的所有后缀与模式串 $T$ 的最长公共前缀长度。

$KMP$ 求解的问题是在主串 $S$ 中模式串T出现的次数和位置，$扩展KMP$ 求解问题包含了 $KMP$ 求解的问题，因为主串 $S$ 中与模式串 $T$ 的最长公共前缀长度等于 $|T|$ 的后缀就是 $KMP$ 所求。

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$exkmp$ 算法求解过程实际是求两个数组的值：

$net[i]$ : 模式串 $T$ 的后缀 $Tsuf(i)$ 与模式串 $T$ 本身的最长公共前缀长度 （net指next，C++11中next为保留字）

$extend[i]$：主串 $S$ 的后缀 $Ssuf(i)$ 与模式串 $T$ 的最长公共前缀长度

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exkmp算法采用 递推求解 ， $extend[i]$ 的值可以由 $extend[0..i]$ 和 $net$ 数组的值求得。

算法推导：

设：主串 $S$ ，长度 $N$ ，模式串 $T$ ，长度 $M$ ，下标均从 $0$ 开始。
假设 $extend[0..i]$ 和 $net$ 数组已知，现在正在求解 $extend[k]$ 的值

设最远匹配位置为 $p$ （即主串 $S$ 下标分别从 $0$ ~ $K+1$ 开始与模式串T每次下标从 $0$ 开始进行匹配可以到达的主串 $S$ 的最大下标），则 $p=max(i+extend[i]-1)$ ，$i\in [0,k-1]$ （匹配起始位置 $+$ 匹配长度 $-$ $1$ $=$ 匹配末端位置）

设 $j$ 为 $max$ 取得最大值的下标，即

$p=j+extend[j]-1$

根据 $extend[j]$ 的含义得到：

$S[j..p]=T[0..p-j]$

$(p\ge k)$ 时 上式两边同时删去 $[j..k-1]$ 得到：

$S[k..p]=T[k-j..p-j]$ . . . . . . . . (1)

设 $l=net[k-j]$ ，根据 $net$ 数组的定义有：

$T[0..l-1]=T[k-j..k-j+l-1]$ . . . . . . . . (2)

是 $net[k-j]$ 的原因是 (1) 式中 $T$ 的下标是从 $k-j$ 开始的。

-$Case1:$
若 $p-j>k-j+l-1$（ (1) 式 $T$ 右端下标 $>$ (2) 式 $T$ 右端下标 ），
即 $p>k+l-1$ 时 结合 (1)、(2) 式有：

$S[k..k+l-1]=T[k-j..k-j+l-1]=T[0..l-1]$

所以此时 $extend[k]=l$

-$Case2:$
若 $p-j\le k-j+l-1$（ (1) 式 $T$ 右端下标 $\le$ (2) 式 $T$ 右端下标 ），
即 $p\le k+l-1$ 时 结合 (1)、(2)式有：

$S[k..p]=T[0..p-k]$

但从 $S[p+1]$ 开始就不确定了
此时从主串 $S$ 从下标 $p+1$ 开始，模式串 $T$ 从下标 $p-k+1$ 开始进行匹配，
$extend[k]=l+额外匹配长度$
最后更新 $j$ ，$p$ 的值，$j$ 的值直接等于 $k$ ，因为最远匹配位置明显超过 $p$ 了。

上面算法推导中有个小前提：$p\ge k$
当 $p<k$ 时，必定有 $p\le k+l-1$，所以可以放到 $Case2$ 里面，只不过此时的匹配起始位置为：主串 $S$ 从下标 $k$ 开始，模式串 $T$ 下标从 $0$ 开始。

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$net$ 数组求解：$net$ 数组可以看做是 以 $T$ 为主串，$T$ 为模式串的一个特殊的 $exkmp$，所以可以用上面的方法求解。将上面算法过程中的 $extend[i]$ 用 $net[i]$ 替换就行了。

因为 需要用到 $net[k-j]$ 而 $k-j\le k$，当且仅当 $j=0，k=1$ 时取等号，所以先把net[1]暴力求解就好。

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求解 $net$ 数组的代码：

void getNet(string& t){
    int len = t.length(),j=0,p,l;
    net[0] = len;
    while(j<len&&t[1+j]==t[j]) j++; //求 net[1]
    net[1] = j;
    j = 1;
    for(int k=2;k<len;k++){
        p=j+net[j]-1;l=net[k-j];
        if(p<=k+l-1){ // Case 2
            int i=p>=k?p-k+1:0; //p是否大于等于k，i为从k开始的匹配长度
            while(k+i<len&&t[k+i]==t[i]) i++;
            net[k]=i;
            j=k; //更新j
        }
        else net[k]=l; // Case 1
    }
}

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求 $extend$ 数组的代码：

void getExtend(string& s,string& t){
    int ls = s.length(),lt =t .length(),j=0,p,l;
    while(j<ls&&j<lt&&s[j]==t[j]) j++; //求 extend[0]
    extend[0] = j;
    j = 0;
    for(int k=1;k<ls;k++){
        p=j+extend[j]-1;l=net[k-j];
        if(p<=k+l-1){ // Case 2
            int i=p>=k?p-k+1:0; //p是否大于等于k，i为从k开始的匹配长度
            while(k+i<ls&&i<lt&&s[k+i]==t[i]) i++;
            extend[k]=i;
            j=k; //更新j
        }
        else extend[k]=l; // Case 1
    }
}