母函数 ( Generating function ) 详解

 

母函数Generating function详解


前段时间写了一篇《背包之01背包、完全背包、多重背包详解》,看到支持的人很多,我不是大牛,只是一个和大家一样学习的人,写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松,二是让自己复习起来更方便。

(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)


在数学中,某个序列的 母函数是一种 形式幂级数,其每一项的 系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为 母函数方法

母函数可分为很多种,包括普通母函数指数母函数L级数贝尔级数狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。


这里先给出两句话,不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看:

“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”

“母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. “


我们首先来看下这个多项式乘法:

由此可以看出:

1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。

2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。

………

n. xn的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体(只有1个)。

由此得到:

母函数的定义:

对于序列a0,a1,a2,…构造一函数:


称函数G(x)是序列a0,a1,a2,…的母函数


这里先给出2个例子,等会再结合题目分析:

第一种:

有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚,能称出哪几种重量?每种重量各有几种可能方案?

考虑用母函数来接吻这个问题:

我们假设x表示砝码,x的指数表示砝码的重量,这样:

1个1克的砝码可以用函数1+x表示,

1个2克的砝码可以用函数1+x2表示,

1个3克的砝码可以用函数1+x3表示,

1个4克的砝码可以用函数1+x4表示,

上面这四个式子懂吗?

我们拿1+x2来说,前面已经说过,x表示砝码,x的指数表示重量,即这里就是一个质量为2的砝码,那么前面的1表示什么?1代表重量为2的砝码数量为0个。(理解!)

不知道大家理解没,我们这里结合前面那句话:

“把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来”


1+x 2 表示了两种情况:1表示质量为2的砝码取0个的情况,x 2 表示质量为2的砝码取1个的情况。

这里说下各项系数的意义:

在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个,而1就表示相应砝码取0个,这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何?结合数学式子)。

Tanky Woo 的程序人生http://www.wutianqi.com/


所以,前面说的那句话的意义大家可以理解了吧?

几种砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示:

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)

=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)

=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10

从上面的函数知道:可称出从1克到10克,系数便是方案数。(!!!经典!!!)

例如右端有2x5 项,即称出5克的方案有2:5=3+2=4+1;同样,6=1+2+3=4+2;10=1+2+3+4。

故称出6克的方案有2,称出10克的方案有1 。


接着上面,接下来是第二种情况:

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数:

大家把这种情况和第一种比较有何区别?第一种每种是一个,而这里每种是无限的。

以展开后的x4为例,其系数为4,即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4;

即 :4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数:

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。

整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数


现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例,给出 模板

1
            2
            3
            4
            5
            6
            7
            8
            9
            10
            11
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            36
            37
            38
            
 #include 
            using namespace std;
            // Author: Tanky Woo
            // www.wutianqi.com
            const int _max = 10001;
            // c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
            // c2是中间量,保存没一次的情况
            int c1[_max], c2[_max];
            int main()
            {	//int n,i,j,k;
            int nNum;   // 
            int i, j, k;
             
            while(cin >> nNum)
            {
            for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
            {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
            }
            for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
            {
             
            for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
            for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
            {
            c2[j+k] += c1[j];
            }
            for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
            {
            c1[j] = c2[j];
            c2[j] = 0;
            }
            }
            cout << c1[n] << endl;
            }
            return 0;
            }

我们来解释下上面标志的各个地方:

①  、首先对c1初始化,由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化,把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.


②  、 i从2到n遍历,这里i就是指第i个表达式,上面给出的第二种母函数关系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。


③、j 从0到n遍历,这里j就是只一个表达式里第j个变量,比如在第二个表达式里:(1+x2+x4….)里,第j个就是x2*j.

③  k表示的是第j个指数,所以k每次增i(因为第i个表达式的增量是i)。

④  、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的


咱们赶快趁热打铁,来几道题目:

(相应题目解析均在相应的代码里分析)

1.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

代码:http://www.wutianqi.com/?p=587

这题大家看看简单不?把上面的模板理解了,这题就是小Case!

看看这题:

2.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

代码:http://www.wutianqi.com/?p=590

要说和前一题的区别,就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时(可以参考我的资料—《母函数详解》),把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~

3.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

代码:http://www.wutianqi.com/?p=592

这题终于变化了一点,但是万变不离其中。

大家好好分析下,结合代码就会懂了。

4.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

代码:http://www.wutianqi.com/?p=594

还有一些题目,大家有时间自己做做:

HDOJ:1709,1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152


附:

1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數:

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0

2.Matrix67大牛那有篇文章:什么是生成函数:

http://www.matrix67.com/blog/archives/120

3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇,我这里的图片以及一些内容都引至那。


文章暂时讲完后,随着以后更深入的了解,我会把资料继续完善,供大家一起学习探讨。(我的博客—Tanky Woo的程序人生: www.wutianqi.com  ,大家帮我支持下博客吧,如果大家有问题或者资料里的内容有错误,可以留言给出,谢谢您的支持。)

Tanky Woo

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原文下载地址:
http://download.csdn.net/source/2591324

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