均值不等式习题

\(\fbox{例1}\)均值不等式中有一类常考题型,比如,求限定条件下的最值问题,对应的解决方法是:常数代换,乘常数再除常数。

【模型1】:已知\(2m+3n=2,m>0,n>0\),求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值[或求\(\cfrac{4n+m}{mn}\)的最小值,难度稍微增大一点]。

思路:给定条件是整式,求分式的最值,常数代换,乘常数再除常数,部分使用均值不等式

分析如下:\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=\cfrac{1}{2}\cdot (2m+3n)(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n})=\cfrac{1}{2}\cdot (8+3+\cfrac{2m}{n}+\cfrac{12n}{m})=\cdots\)

【模型2】:已知\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}=2,m>0,n>0\),求 \(2m+3n\)的最小值。

思路:给定条件是分式,求整式的最值,常数代换,乘常数再除常数,部分使用均值不等式

【对照1】:已知\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1,a>0,b>0\),求 \(\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}\)的最小值。

思路:给定条件是分式,求分式的最值,变量集中,再使用均值不等式

【对照2】:已知\(2a+b=1,a>0,b>0\),求 \(a^2+2b^2\)的最小值。

思路:给定条件是整式,求整式的最值,变量集中,用函数求解最值

改变限定条件的给出方式:

【变式1】限定条件以简单变形形式给出,

如已知\(m>0,n>0,m+\cfrac{3}{2}n=1\),求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

又或已知\(m>0,n>0,\cfrac{1}{n}+\cfrac{3n}{2m}=\cfrac{1}{mn}\),求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

【变式2】限定条件以直线的形式给出,

如已知点\(P(m,n)\)在直线\(2x+3y=2,x>0,y>0\)上,求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

【变式3】已知直线\(ax+by-6=0(a,b>0)\)过圆\(x^2+y^2-2x-4y=0\)的圆心(或直线平分此圆或圆上存在两个点关于直线对称),求\(\cfrac{4}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值。

【变式4】限定条件以线性规划形式给出,

如已知\(x,y\)满足约束条件\(\left\{\begin{array}{l}{x+y\ge 3}\\{x-y\ge -1}\\{2x-y\leq 3}\end{array}\right.\),若目标函数\(z=ax+by(a>0,b>0)\)的最大值为10,则\(\cfrac{5}{a}+\cfrac{4}{b}\)的最小值为多少?

【变式5】限定条件以极限或定积分的形式给出

如已知\(\lim\limits_{x\to 1^+} f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}\cfrac{x}{x^2+3x+1}=m+n\),求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

如已知\(\int_{0}^{2} x\, dx=m+n,m>0,n>0\),求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

【变式6】限定条件以二项式形式给出,如

已知\((2x+1)^9\)展开式中,含\(x^3\)项的系数为\(m+n,m>0,n>0\),求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

【变式7】限定条件以数列形式给出,如

已知正项等比数列\(\{a_n\}\)满足:\(a_7=a_6+2a_5\),若存在两项\(a_m,a_n\),使得\(a_ma_n=16a_1^2\),求\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

【变式8】以三点共线的向量形式给出(如宝鸡市三检),
设向量\(\overrightarrow{OA}=(1,-2)\)\(\overrightarrow{OB}=(a,-1)\)\(\overrightarrow{OC}=(-b,0)\),其中\(O\)为坐标原点,\(a,b>0\),若\(A,B,C\)三点共线,则\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}\)的最小值为多少?

分析:由三点共线的向量表达方式可知,\(2a+b=1\),转化为最初的例子。

【变式9】以向量的垂直或平行形式给出

已知向量\(\vec{a}=(m,1)\)\(\vec{b}=(1,n-1)\),若\(\vec{a}\perp\vec{b}\),则\(\cfrac{4}{m}+\cfrac{1}{n}\)的最小值。

分析:有条件\(\vec{a}\perp\vec{b}\)可知\(m+n=1\),即\(\cfrac{1}{m}+\cfrac{4}{n}=(\cfrac{1}{m}+\cfrac{4}{n})(m+n)=5+\cfrac{4n}{m}+\cfrac{m}{n}=...\)

【变式10】以对数方程的形式给出;

已知\(x>0\),\(y>0\)\(lg2^x+lg8^y=lg2\),求\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{3y}\)的最小值。

分析:由已知条件可知,\(x+3y=1\),求\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{3y}\)

【变式11】以概率的形式给出;

比如一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为\(a\),得2分的概率为\(b\),不得分的概率为\(c\)\(a,b,c\in (0,1)\)),已知他投篮一次得分的均值为2,求\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{3b}\)的最小值。
分析:由题目可知投篮一次得分的均值\(EX=3a+2b=2(a>0,b>0)\),求\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{3b}\)的最小值。

【变式12】以解三角形和三角形的面积形式给出;

比如已知点M是\(\Delta ABC\)内的一点,且\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}\)\(\angle BAC=\cfrac{\pi}{6}\),若\(\Delta MBC,\Delta MCA,\Delta MAB\)的面积分别为\(\cfrac{1}{2},x,y\),求\(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{y}\)的最小值。

分析:由\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}\)\(\angle BAC=\cfrac{\pi}{6}\),故有\(|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|cos\cfrac{\pi}{6}=2\sqrt{3}\),得到\(bc=4\),所以\(S_{\Delta ABC}=\cfrac{1}{2}bcsin\cfrac{\pi}{6}=1\),又\(\Delta MBC,\Delta MCA,\Delta MAB\)的面积分别为\(\cfrac{1}{2},x,y\),故有\(\cfrac{1}{2}+x+y=1\),即\(x+y=\cfrac{1}{2}\),

【变式13】以隐含条件的形式给出

比如函数\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x},0,求函数\(f(x)\)的最小值。

提示:\(f(x)=\cfrac{1}{2}\cdot (\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x})[x+(2-x)]\)

\(=\cfrac{1}{2}\cdot (1+4+\cfrac{2-x}{x}+\cfrac{4x}{2-x})\ge \cfrac{1}{2}(5+2\sqrt{4})\)

\(=\cfrac{9}{2}\),当且仅当\(\cfrac{2-x}{x}=\cfrac{4x}{2-x}\)

\(x=\cfrac{2}{3}\)时取到等号。

本题目的错误变形:

\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{2-x}=(x+\cfrac{1}{x})-x+[(2-x)+\cfrac{4}{2-x}]+x-2\)

\(=(x+\cfrac{1}{x})+[(2-x)+\cfrac{4}{2-x}]-2\)

\(\ge 2+2\sqrt{4}-2=4\)

故函数\(f(x)\)的最小值为\(4\)

错误原因:本题目同时使用了两次均值不等式,都没有验证等号成立的条件。

\(x+\cfrac{1}{x}\ge 2\)时,当且仅当\(x=1\)时取到等号;

\(2-x+\cfrac{4}{2-x}\ge 2\sqrt{4}=4\)时,当且仅当\(x=0\)\(x=4\)时取到等号,

这样同一个题目中,不可能发生这样的事情,故上述变形是错误的;

【变式14】以曲线的对称中心的形式给出

(2017广东揭阳联考)若直线\(2ax+by-1=0(a>0,b>0)\)经过曲线\(y=cos\pi x+1(0的对称中心,则\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值为_____.

分析:做出简图可知,曲线\(y=cos\pi x+1(0的对称中心为\((\cfrac{1}{2},1)\),代入直线得到条件\(a+b=1\)

此时题目转化为,已知\(a+b=1(a>0,b>0)\),求\(\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{b}\)的最小值的题目,很显然,应用乘常数除常数的思路解决即可。

提示:\((\cfrac{2}{a}+\cfrac{1}{b})_{min}=3+2\sqrt{2}\).

【变式15】利用点线距的形式给出(2017浙江嘉兴一中模拟)

已知直线\(\sqrt{2}ax+by=1\)(其中\(ab\neq0\))与圆\(x^2+y^2=1\)相交于\(A、B\)两点,\(O\)为坐标原点,且\(\angle AOB=120^{\circ}\),则\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{2}{b^2}\)的最小值为_____________.

分析:自行做出示意图,结合题目条件,我们可以知道圆心到直线的点线距为\(d=\cfrac{1}{2}\)

\(d=\cfrac{1}{2}=\cfrac{|\sqrt{2}a\times 0+b\times0-1|}{\sqrt{2a^2+b^2}}\),即\(2a^2+b^2=4\)

到此题目转化为已知\(2a^2+b^2=4\),求\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{2}{b^2}\)的最小值问题。

利用乘常数除常数的方法解决即可。

【变式16】利用换元法转化(2017\(\cdot\)陕西西安质检)

已知实数\(x,y\)满足\(x>y>0\),且\(x+y=\cfrac{1}{2}\) ,则\(\cfrac{2}{x+3y}+\cfrac{1}{x-y}\)的最小值是_________.

分析:换元法,令\(x+3y=s>0\)\(x-y=t>0\)

求解上述以\(x,y\)为元的方程组,得到\(x=\cfrac{s+3t}{4}\)\(y=\cfrac{s-t}{4}\)

\(x+y=\cfrac{1}{2}\),将上述结果代入得到\(s+t=1\)

故此时题目转化为"已知\(s+t=1\)\(s,t>0\),求\(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}\)的最小值”问题。

接下来,利用乘常数除常数的思路就可以求解。

简单提示如下:\(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}=(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t})(s+t)=3+\)\(\cfrac{2t}{s}+\cfrac{s}{t}\ge 3+2\sqrt{2}\)(当且仅当\(\cfrac{2t}{s}=\cfrac{s}{t}\)\(s+t=1\)时取到等号)

看完这些内容,你难道不觉得我们得好好的改造我们的学习方法吗,比如说留意限定条件的给出方式

\(\fbox{例1}\) (2017榆林模拟)已知正数\(x,y\)满足\(x+2y-xy=0\),求\(x+2y\)的最小值。

分析:需要将已知条件变形为分式形式,只有这样才能出现乘积为常数,

\(x+2y-xy=0\)得到\(\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}=1\)

\(x+2y=(x+2y)\cdot 1=(x+2y)(\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y})\)

\(=2+2+\cfrac{x}{y}+\cfrac{4y}{x}\ge 4+2\sqrt{4}=8\)

当且仅当\(\begin{cases}\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}=1 \\\ \cfrac{x}{y}=\cfrac{4y}{x}\end{cases}\),即\(x=4,y=2\)时取等号,故\(x+2y\)的最小值为8.

\(\fbox{例2}\)不等式证明
已知\(a>0,b>0,a+b=1\)

求证:(1).\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}\ge 8\)

(2).\((1+\cfrac{1}{a})(1+\cfrac{1}{b})\ge 9\)

分析:(1).\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}=2(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b})=2(\cfrac{a+b}{a}+\cfrac{a+b}{b})=\\2(2+\cfrac{a}{b}+\cfrac{b}{a})\ge 2(2+2\sqrt{1})=8\),

当且仅当\(\begin{cases}a+b=1\\a=b\end{cases}\)时,即\(a=b=\cfrac{1}{2}\)时取等号。

法2:\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}+\cfrac{1}{ab}=\cfrac{2}{ab}\)

\(1=a+b\ge 2\sqrt{ab}\)得到\(0<\sqrt{ab}\leq \cfrac{1}{2}\)

\(0,故\(\cfrac{1}{ab}\ge 4\),故\(\cfrac{2}{ab}\ge 8\),当且仅当$a=b=\cfrac{1}{2} $时取到等号。

(2).\((1+\cfrac{1}{a})(1+\cfrac{1}{b})=(1+\cfrac{a+b}{a})(1+\cfrac{a+b}{b})\\(2+\cfrac{b}{a})(2+\cfrac{a}{b})=5+2(\cfrac{b}{a}+\cfrac{a}{b})\ge 5+2\cdot2=9\)

\(\fbox{例3}\)已知\(a,b\in R^{+},a+b-ab+3=0\),1、求\(ab\)的范围;2、求\(a+b\)的范围;

1、求\(ab\)的范围;

解:\(\because -3+ab=a+b\ge 2\sqrt{ab}\)

\(\therefore ab-2\sqrt{ab}-3\ge 0\)

\((\sqrt{ab}+1)(\sqrt{ab}-3) \ge 0\)

$\sqrt{ab}\leq -1 或 \sqrt{ab}\ge 3 $

\(a,b\in R^{+}\),故 \(\sqrt{ab}\ge 3 (当且仅当a=b=3取到等号)\)

\(ab\ge 9\)

2、求\(a+b\)的范围;

解:\(\because a+b+3=ab \leq (\cfrac{a+b}{2})^2,令t=a+b\)

\(t^2-4t-12 \ge 0\)

$t \leq -2 或 t \ge 6 $

\(a+b \ge 6 (当且仅当a=b=3取到等号)\)

【评析】代数式中同时有\(a+b\)\(ab\)型,两元\(a+b,ab\)常常转化集中为一元\(a+b\)\(ab\),这样就好处理多了。

【同类题】设\(m,n\in R\),则直线\((m+1)x+(n+1)y-2=0\)与圆\((x-1)^2+(y-1)^2=1\)相切,且\(m+n\)的取值范围是_________。

分析:由圆心\((1 ,1)\)到直线的距离等于半径可得,

\(\cfrac{(m+1)\cdot 1+(n+1)\cdot 1-2}{\sqrt{(m+1)^2+(n+1)^2}}=1\)

变形得到\(mn=m+n+1\),此时即转化为上述例3的类型了。

\(mn\leq (\cfrac{m+n}{2})^2\),则\(m+n+1\leq (\cfrac{m+n}{2})^2\)

求解上述以\(m+n\)为整体的不等式,得到\(m+n\leq 2-2\sqrt{2}\)或者\(m+n\ge 2+2\sqrt{2}\)

\(\fbox{例4}\)已知实数\(a,b,c\)满足\(a+b+c=9,ab+bc+ac=24\),则\(b\)的取值范围是[1,5]。

解:由于\(ab+bc+ac=(a+c)b+ac=24\)

\(ac=24-(a+c)b \leq (\cfrac{a+c}{2})^2\)

\(24-(a+c)b \leq (\cfrac{a+c}{2})^2\),(三元变成了两个元\(a+c,b\))

又因为\(a+c=9-b\)

\(24-(9-b)b \leq \cfrac{(9-b)^2}{4}\),(两元\(a+c,b\)变成了一元\(b\))

\(b^2-6b+5 \leq 0\)

解得\(1\leq b \leq 5\)

\(\fbox{例5}\)【2016.江西两市联考】已知\(x,y\in R^+\),且\(x+y+\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}=5\),则\(x+y\)的取值范围是多少?

分析:先将已知表达式变形为\(x+y+\cfrac{4}{x+y}=5\),接下来的变形的方向就是想法替换掉\(xy\),为此,

\(xy\leq \cfrac{(x+y)^2}{4}\),得到\(\cfrac{1}{xy}\ge \cfrac{4}{(x+y)^2}\),得到\(\cfrac{x+y}{xy}\ge \cfrac{4}{x+y}\),代入上述等式,得到

\(x+y+\cfrac{4}{x+y}\leq 5\),得到\((x+y)^2-5(x+y)+4\leq 0\),解得\(1\leq x+y \leq 4\)

\(\fbox{例6}\)(2017\(\cdot\)天津卷)

已知\(a,b\in R,ab>0\),求\(\cfrac{a^4+4b^4+1}{ab}\)的最小值。

分析:考虑到题目中\(ab>0\),则一般不能把\(a,b\)单独拆开使用,应该看成一个整体变量,

这样\(\cfrac{a^4+4b^4+1}{ab}\ge \cfrac{4a^2b^2+1}{ab}=4ab+\cfrac{1}{ab}\ge 4\)

当且仅当\(a^4=4b^4\)\(4ab=\cfrac{1}{ab}\)

\(a^4=\cfrac{1}{2}\)\(b^4=\cfrac{1}{8}\)\(ab=\cfrac{1}{2}\)时取到等号。

【例7】已知\(x>1\),求\(f(x)=x+\cfrac{1}{x-1}\)的最小值。

【引例1】已知\(a>1,b>0, a+b=4\),求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}\)的最小值。(\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+b=3\))

【引例2】已知\(a>1,b>2, a+b=4\),求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b-2}\)的最小值。(\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1\))

【引例3】已知\(a>0,b>0, \cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=1\),求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{9}{b-1}\)的最小值。(\(b=\cfrac{a}{a-1}代入,变成关于a的一元,变量集中\))

【引例4】函数\(f(x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{1-x}\),则\(f(x)=(\cfrac{1}{x}+\cfrac{4}{1-x})[x+(1-x)]=...\),注意隐含条件的发掘和利用。

\(\fbox{例8}\)(2017凤翔中学高三理科第二次月考第16题)

\(x,y\)满足约束条件\(\begin{cases}2x-y+2\ge 0\\8x-y-4\leq 0\\x\ge 0,y\ge 0\end{cases},\)若目标函数\(z=ax+by(a>0,b>0)\)的最大值为4,则\(\cfrac{a+2b}{ab}\)的最小值为多少?

均值不等式习题_第1张图片
分析:如图所示,要保证目标函数\(z=ax+by(a>0,b>0)\)的最大值为4,则直线必须经过点\((1,4)\),即\(a+4b=4\),所求条件\(\cfrac{a+2b}{ab}\)变形为\(\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a}\),此时题目变成已知条件\(a+4b=4(a>0,b>0)\),求\(\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a}\)的最小值,只需要仿照模型完成即可。

提示:\(\cfrac{a+2b}{ab}=\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a}=\cfrac{1}{4}\times (\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a})\times 4=\cfrac{1}{4}\times (\cfrac{1}{b}+\cfrac{2}{a})\times(a+4b)=\cfrac{1}{4}\times (+6+\cfrac{a}{b}+\cfrac{8b}{a})\ge\cfrac{6}{4}+\cfrac{1}{4}\times2\sqrt{8}=\cfrac{3}{2}+\sqrt{2}\);当且仅当\(a+4b=4\)\(a^2=8b^2\)取到等号。

\(\fbox{例9}\)(2017天津一中月考)

\(a+b=2,b>0\),则\(\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}\)的最小值为__________.

分析:由题可知,\(\cfrac{a+b}{2}=1\),则常数代换得到

\(\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}=\cfrac{a+b}{4|a|}+\cfrac{|a|}{b}=\cfrac{a}{4|a|}+\cfrac{b}{4|a|}+\cfrac{|a|}{b}\)

\(\ge \cfrac{a}{4|a|}+2\sqrt{\cfrac{b}{4|a|}\cdot \cfrac{|a|}{b}}= \cfrac{a}{4|a|}+1\)(当且仅当\(b^2=4a^2\)时等号成立),

接下来分类讨论得到

\(a>0\)时,\(\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}\ge \cfrac{a}{4a}+1=\cfrac{5}{4}\);

\(a<0\)时,\(\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}\ge \cfrac{a}{-4a}+1=\cfrac{3}{4}\);

综上所述,\(\cfrac{1}{2|a|}+\cfrac{|a|}{b}\)的最小值为\(\cfrac{3}{4}\);

解后反思:常数代换,部分使用均值不等式,分类讨论;

\(\fbox{例10}\)(2017\(\cdot\)陕西西安质检)

已知实数\(x,y\)满足\(x>y>0\),且\(x+y=\cfrac{1}{2}\) ,则\(\cfrac{2}{x+3y}+\cfrac{1}{x-y}\)的最小值是_________.

分析:换元法,令\(x+3y=s>0\)\(x-y=t>0\)

求解上述以\(x,y\)为元的方程组,得到\(x=\cfrac{s+3t}{4}\)\(y=\cfrac{s-t}{4}\)

\(x+y=\cfrac{1}{2}\),将上述结果代入得到\(s+t=1\)

故此时题目转化为"已知\(s+t=1\)\(s,t>0\),求\(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}\)的最小值”问题。

接下来,利用乘常数除常数的思路就可以求解。

简单提示如下:\(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t}=(\cfrac{2}{s}+\cfrac{1}{t})(s+t)=3+\)\(\cfrac{2t}{s}+\cfrac{s}{t}\)\(=\cdots\)

\(\fbox{例11}\)(2017\(\cdot\)江西南昌十所省级重点中学模拟)

若正数\(a,b\)满足\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1\),求 \(\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}\)的最小值_________。

分析:由\(\cfrac{1}{a}+\cfrac{2}{b}=1\),变形得到\(a=\cfrac{b}{b-2}\),变量集中。

又由于\(a>0,b>0\),即\(a=\cfrac{b}{b-2}>0\),即\(b>2\)

\(\cfrac{2}{a-1}+\cfrac{1}{b-2}=\cfrac{2}{\frac{b}{b-2}-1}+\cfrac{1}{b-2}=(b-2)+\cfrac{1}{b-2}\ge 2\)

当且仅当\(\cfrac{1}{b-2}=b-2\),即\(a=b=3\)时,取得等号。

\(\fbox{例12}\)【综合应用题目】
已知函数\(f(x)=mlnx+x^2-mx\)\((1,+∞)\)上单调递增,求m的取值范围.

【分析】由函数单调递增,转化为\(f'(x)≥0\)\((1,+∞)\)上恒成立,然后分离参数得到\(m≤g(x)\),用均值不等式求新函数\(g(x)\)的最小值即可。

【解答】由题目可知,\(f'(x)≥0\)\((1,+∞)\)上恒成立,且\(f'(x)\)不恒为零,

则有\(f'(x)=\cfrac{m}{x}+2x-m=\cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0\)\((1,+∞)\)上恒成立,

\(2x^2-mx+m≥0\)\((1,+∞)\)上恒成立,常规法分离参数得到

m≤\(\cfrac{2x^2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4\)

由于\(x>1\),故\(2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4≥2\sqrt{4}+4=8\),当且仅当\(x=2\)时取到等号。

\(m≤8\),当\(m=8\)时,函数不是常函数,也满足题意,故\(m≤8\)

【点评】函数\(f(x)\)在区间\(D\) 上单调递增,则\(f'(x)≥0\)\(D\)上恒成立,且\(f'(x)\)不恒为零;

函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递减,则\(f'(x)≤0\)\(D\)上恒成立,且\(f'(x)\)不恒为零;

此处要求\(f'(x)\)不恒为零,意思是要排除函数\(f(x)\)为常函数的情形。

例13【难点题目】

已知正实数\(x、y、z\)满足\(x^2-3xy+4y^2-z=0\),当\(\cfrac{xy}{z}\)取得最大值时,求\(\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}-\cfrac{2}{z}\)的最大值.

分析:\(z=x^2-3xy+4y^2\ge 2x\cdot 2y-3xy=xy\),当且仅当\(x=2y\)时取得等号;

\(\cfrac{1}{z}\leq \cfrac{1}{xy}\),当且仅当\(x=2y\)时取得等号;

\(\cfrac{xy}{z}\leq \cfrac{xy}{xy}=1\),即\(\cfrac{xy}{z}\)的最大值为\(1\),当且仅当\(x=2y\)时取得等号;

此时,\(z=x^2-3xy+4y^2=4y^2-3y\cdot 2y+4y^2=2y^2\)

\(\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}-\cfrac{2}{z}=\cfrac{2}{2y}+\cfrac{1}{y}-\cfrac{2}{2y^2}\)

\(=\cfrac{2}{y}-\cfrac{1}{y^2}=-(\cfrac{1}{y}-1)^2+1\leq 1\)

\(\cfrac{2}{x}+\cfrac{1}{y}-\cfrac{2}{z}\)的最大值为1.

此时,\(y=1,x=2,z=2\)

【点评】变量集中,三元变一元。

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