矩阵计算一些重要的结论及其证明

1. 第一类：特征值相关

1.1 对角线元素之和等于特征值之和

证明略

1.2 矩阵的行列式等于特征值之积

• 严格对角占优 → 正定 → 高斯赛德尔、雅可比、SOR迭代收敛。
• 正定 → 特征值皆为正。
• 正定 → 满秩。
• 总结：严格对角占优 → 正定，特征值皆为正，满秩，Gauss-Seidel、Jacobi、SOR迭代收敛。因此通常我们会个系数矩阵加上 αI ，以保证矩阵正定。

2. 第二类：迹相关

2.1

tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)

3. 对称正定相关

3.1 对称正定矩阵的性质

3.1.1 对角线元素大于0

证明：根据对称正定的定义， xTAx>0 。取 x=[0,0,...1,...0]T 。即 xi=1 ，其它元素都为0，即可得到 aii>0 。

3.1.2 特征值大于0

证明：根据对称正定的定义， xTAx>0 。取 x 为 A 的特征向量 vi ，对应的特征值为 λi 。则， vTiAvi=vTiλivi=λivTivi>0 。又， vTivi>0 可知， λi>0