一元函数极值的充要条件

        

我们知道，一个多项式多项式在0处有极值，且f(0)=0, 其一定是偶数项多项式，即偶函数。（这个很容易证明），即奇数次幂的系数要为0。我们取ln(1+x）的三阶泰勒展开

令x^3 系数为0， 立即得到 a = -1/6

这种方法的令一种解释：我们想知道f(x) 在0处的n阶导数值有以下做法

1. 直接暴力求导，令x=0即可

2. 利用泰勒展开式(在x=0处展开）

以上展开并不需要直接计算导数得到，可以通过已知展开函数的多项式运算得到。上面的等式中，通过展开ln(1+x)间接计算了f(x)的在0处的n阶导数。在根据极值的第三充分条件，立即得到三阶导数为0，即和前面一样。

明白了这些，在试卷上直接可以这么写：、

显然，f'(0)=0, f''(0)=0, f'''(0)=3!*(2/3-1/2+a）

根据极限的第三充分条件，f'''(0)=0, 所以 a=-1/6。

这种方法实际上绕开了直接对f(x)求导，利用泰勒展开简阶的计算了f'''(0)的值。在考研数学中这种方法很常见，仅针对这道题在高考考场上可能会被扣2分左右，但肯定有大量的分，因为这道题目的答案并不好算。

 

 

 

2018全国卷三

如果x=0为函数得极值点，求a得值

求导会发现这个函数一阶导数和二阶导数均为零

回顾几个重要定理

这个定理需要判断一阶导数左右符号

这个定理不需要判断极值点附件的情况。

判别极值得第三充分条件

快速判别方法，将原函数中ln(1+x)泰勒展开，不能出现奇数次幂，因为这样x会变好，这个点就不是极值点。