一元函数极值的充要条件

f\left ( x \right ) = \left ( 2+x+ax^{2} \right )ln\left ( 1+x \right )-2x        

我们知道,一个多项式多项式在0处有极值,且f(0)=0, 其一定是偶数项多项式,即偶函数。(这个很容易证明),即奇数次幂的系数要为0。我们取ln(1+x)的三阶泰勒展开

ln(1+x) \sim x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3} + O(x^{4})

令x^3 系数为0, 立即得到 a = -1/6

这种方法的令一种解释:我们想知道f(x) 在0处的n阶导数值有以下做法

1. 直接暴力求导,令x=0即可

2. 利用泰勒展开式(在x=0处展开)

f\left ( x \right ) = f(0)+f'(0)x+f''(0)x^{2}/2!+f'''(0)x^3/3! + ...

以上展开并不需要直接计算导数得到,可以通过已知展开函数的多项式运算得到。上面的等式中,通过展开ln(1+x)间接计算了f(x)的在0处的n阶导数。在根据极值的第三充分条件,立即得到三阶导数为0,即和前面一样。

明白了这些,在试卷上直接可以这么写:、

显然,f'(0)=0, f''(0)=0, f'''(0)=3!*(2/3-1/2+a)

根据极限的第三充分条件,f'''(0)=0, 所以 a=-1/6。

这种方法实际上绕开了直接对f(x)求导,利用泰勒展开简阶的计算了f'''(0)的值。在考研数学中这种方法很常见,仅针对这道题在高考考场上可能会被扣2分左右,但肯定有大量的分,因为这道题目的答案并不好算。

 

 

 

2018全国卷三

如果x=0为函数得极值点,求a得值

求导会发现这个函数一阶导数和二阶导数均为零

回顾几个重要定理

一元函数极值的充要条件_第1张图片

这个定理需要判断一阶导数左右符号

这个定理不需要判断极值点附件的情况。

判别极值得第三充分条件

快速判别方法,将原函数中ln(1+x)泰勒展开,不能出现奇数次幂,因为这样x会变好,这个点就不是极值点。

 

 

 

你可能感兴趣的:(算法)