对偶四元数（1）：对偶四元数的基本性质及线性混合

        对偶四元数（Dual Quaternions）这一数学工具，怀才不遇，发现于百余年前，却迟迟得不到重用，直到近十年来才被广泛的应用于各个领域，剑桥大学JoanLasenby等人于两千年在皇家哲学学报上预言称：对偶四元数几何代数将是21世纪物理学和工程学之统一数学语言。

        本篇就先描述一下对偶四元数的基本性质以及其blending，随后再写写它在骨骼蒙皮动画，点云匹配，多视图配准等应用中表现出的优异特性。

一．四元数

        相比对偶四元数，有些人可能更熟知四元数quaternion，因为其早已在机器人运动学，计算机图形学中有着广泛的应用。相对欧拉角，旋转矩阵等表示旋转的工具，四元数有着诸多优势。1985年由shoemake提出的球面线性插值算法slerp已成为计算机动画中主流的插值算法，相对线性插值lerp，他能更均匀，圆滑，自然的表现动画插值， 基于opengl做的slerp的实验，效果麻麻好：

                                                            

二．对偶四元数

        对偶四元数（Dual Quaternions）是对偶数和四元数在多维空间中的有机结合，可以理解为元素为四元数的对偶数，同样可以理解为元素为对偶数的四元数。较之四元数只能表示3D旋转，对偶数只能表示平移，对偶四元数的优越性体现在它继承了二者的共同特性，从而能统一的表示旋转与平移。它的三维就空间描述可以由下图表示。

                                                                                            

        对偶四元数线性混合DLB的原理是将输入的变换矩阵转变为螺旋参数，即螺旋轴，旋转角度，平移量，将对偶四元数连同与之相匹配的权重进行线性混合并标准化，可以归结为以下公式

                                                                                                         

本想详细的描述对偶四元数的性质及线性混合，但是无奈，公式太多，贴图好麻烦

基本性质可以参见下这篇论文： 武元新.对偶四元数导航算法与非线性高斯滤波研究[D]. 长沙: 国防科学技术大学, 2005

线性插值可以参见下这篇论文：KavanL, Collins S, O’Sullivan C, et al. Dual quaternions for rigid transformationblending[J]. Technical report, 2006.