机器人（机械臂）动力学建模方法（Euler-Lagrange equation）

动力学介绍

机器人动力学明确描述机器人力和运动之间的关系。在机器人设计、机器人运动仿真和动画以及控制算法设计中，都需要考虑动力学方程，他是对机器人系统力和运动关系的完整表述。

动力学方程一般有两种形式：
1. 欧拉-拉格朗日运动方程
2. 牛顿-欧拉方程
3.

动力学模型

欧拉-拉格朗日运动方程：

L=K+P

ddt∂L∂q˙i−∂L∂q˙i=τi,i=1,⋯,n

写成以下紧凑的形式为：

ddt(∂L∂q˙i)T−（∂L∂q˙i）T=τ

• n连杆机器人的动能：

K=12q˙T[∑i=1m{miJiv(q)TJiv(q)+Jiω(q)TRi(q)IiRi(q)TJiω(q)}]q˙=12q˙TD(q)q˙

其中：

D(q)=[∑i=1m{miJiv(q)TJiv(q)+Jiω(q)TRi(q)IiRi(q)TJiω(q)}]

被称为惯性矩阵，是一个与形位相关的 n∗n 对称、正定矩阵。

Jiv=[Jiv1⋯Jivi 0⋯0]

Jiω=[Jiω1⋯Jiωi 0⋯0]

对旋转关节： Jivj=zj∗(pli−pj) ， Jiωj=zj
对移动关节： Jivj=zj ， Jiωj=0
mi 为连杆的质量， Jiv和Jiω 是各关节连杆坐标系相对基坐标系对应的雅克比矩阵， Ri 为各连杆坐标系相对基坐标系的旋转矩阵。

• n连杆机器人的势能：

P=∑i=1mmigT0pi

其中， Pi 是第 i 连杆的质心， g0 为重力加速度向量

• 欧拉-拉格朗日运动方程可以写成：

∑j=1ndij(q)q¨j+∑i=1n∑j=1ncijk(q)qi˙qj˙+gi(q)=τi

其中： cijk=12(∂bij∂qk+∂bik∂qj−∂bjk∂qi) , 对确定的 k , cijk=cjik ,此处的 cijk 被称作（第一类）Christoffel 符号。

考虑机器人末端的受力 he , 表示由粘滞摩擦系数构成的矩阵 Fv , 和 表示静摩擦力的矩阵 Fs ,用矩阵形式表示为：

D(q)q¨+C(q,q˙)q˙+Fvq˙+Fssgn(q˙)+g(q)=τ−JT(q)he

其中：

∑j=1ncijq(j)=∑j=1n∑k=1ncijkq˙(k)q˙(j)