出处:http://www.fengchang.cc/post/104
这两天看黎曼猜想的新闻刷屏,虽然这个猜想还未得到证明,当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。反复见之于是想了解一下,不过了解之前顺便先看下相关的这个自然对数。
中学数学都知道e是一个常量,无理数,重要性不亚于圆周率,值约等于2.71828。但是这完全不能算是一个定义,也完全摸不清头脑这个数从何而来。
不过现在如果稍微搜一下就可以知道这个数的数学定义式:
e为下式在n趋向于无穷大的极限: (1 + 1/n)n
到这里,数学定义出来了,但一个数学常量之所以重要,一定是它的应用范围非常广,那么光看这个式子,还不足以知道为什么它的应用范围广。
不过这里可以先给一个符合直觉的,假设的一个应用场景。
假设你往银行存了1块钱,银行按年记利息,利率100%,那么一年后,本息和一共翻了多少倍?这个很简单,答案是2倍,因为利息1块加本金1块,就是2块,比上原来的1块就是2倍(好多余的推理,不过不急,看后面)。
现在假设银行比较勤快,不是一年计息一次,而是半年计息一次,那么一年后本息和是多少倍?首先半年这个时间点本息和为1+1*100%,也就是2块钱,一年这个时间点,前面的两块钱会产生复利,就相当于2+2*100%,就是4块钱,所以半年计息一次就变成了4倍!是不是发现自己赚大了?
不过银行当然不是傻的,凭啥我缩短成半年计息一次利率不变呢?好,假设现在银行变聪明了,改成半年计息一次后,利率也相应调低,调低的规则是计息期缩短多少倍,利率就缩小多少倍。也就是说,计息变成半年后,利率缩减至50%。这种情况下一年后的收益增长是是多少倍呢?简单按照复利公式就知道是(1+50%)^2=2.25倍,虽然没有4倍那么多,但是好歹比2倍还是要好对吧?
那么再继续往下做一个推演,现在假设再把计息期缩短一点,变成三分之一年(4个月)计息一次,利率相应缩减为33.33333...%,这种情况一年后的增长倍数是?继续套用复利公式:(1+33.333333...%)^3=2.37037037037
怎么样,发现比2.25倍又赚更多了一点?
好了,事不过三,我就不往下做推演了,有兴趣可以自己推演计息期变成1/4年,1/5年,1/6年的情况,记得利率也做相应调整。
不过我用Python画了个图,表示从一年一期到1/1000年一期计息的赚钱倍数的规律如图:
源代码如下:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
|
可以看出的结论是,随着计息期切分得越短,你的资产增长倍数会越来越大。但是并不会无限大,而是趋于收敛(往后走线条几乎就停滞了)。这个收敛的值就是2.718281828459...无限长,也就是自然常数e. 所以按照以上的计息期的控制方法,银行就算把计息期缩减到无限短,到年底你也最多能得到e倍的原始本金,这就到顶了,不会再多了。
这就是一个最直观的自然常数的理解。虽然不像圆周率那样周长比直径那么直观,但其重要性却不亚于圆周率。然而正是因为这个不直观,所以这个概念的提出比圆周率要晚得多得多。下面是查询到的历史:
第一次提到常数e,是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数,只有由它为底计算出的一张自然对数列表,通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。
总结来说就是十七世纪有人提出相近的东西,然后过了一百多年才正式有人定义并运用这个常数。相比圆周率,中国在东汉时期(公元三世纪)就已经有比较精确的计算了。所以可见其“不直观”的程度。
不过发现晚不影响其应用广,至于怎么应用,对数表的绘制是一个应用之一,也是e其重要起源之处。相信牛顿那批人在做计算的时候经常碰到这个极限值,所以逼不得已提出了这个常数,我就不展开说了。总之可以理解为在某种规则下(比如上面银行设定的那种计息期和利率的规则下)的增长率极限,而这种增长规则在宇宙中非常常见,普遍,因而非常重要。