汽车运动学模型的线性化推导过程

1. 方法

假设有一非线性微分方程
$$\dot{y}=f(x,u)$$
且有工作点满足${\dot{y}}_0=f(x_0,u_0)$，在该点处对其进行泰勒级数展开，忽略二阶及以上高阶项，有

$$\dot{y}\approx f(x_0,u_0)+\frac{\partial f(x,u)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}(u-u_0)$$
由此可得
$$\dot{y}-{\dot{y}}_0=\frac{\partial f(x,u)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}(u-u_0)$$
定义$\Delta \dot{y}=\dot{y}-{\dot{y}}_0,\Delta x=x-x_0,\Delta u=u-u_0，J_x=\frac{\partial f(x,u)}{\partial x},J_u=\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}$，上式可写为
$$\Delta \dot{y}=J_x\Delta x+J_u\Delta u$$
显然$J_x,J_u$为常数（定常矩阵），由此可将非线性系统转化为线性定常系统。

2.实例

以车辆二自由度模型为例，对该系统进行建模并将其线性化。
假设车辆速度为v,航偏角为$\phi$，前轮转角为$\delta$,车辆轴距为l,根据运动学原理可知

$$v_x=vcos\phi =\dot{x}$$

$$v_y=vsin\phi =\dot{y}$$

$$\omega =\frac{vtan\delta }{l}=\dot{\phi }$$

$$\dot{X}=\left[\begin{array}{l}\dot{x}\\ \dot{y}\\ \dot{\phi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\cos \phi \\ \sin \phi \\ \frac{\tan \delta }{l}\end{array}\right]v=\left[\begin{array}{l}{f}_1\\ f_2\\ f_3\end{array}\right]=f\left(X,u\right)$$
对上式在点$X_r=[x_r,y_r,{\phi }_r{]}^T,u_r=[v_r,{\delta }_r{]}^T$处进行线性化处理，$u=[v,\delta {]}^T$为输入变量,由此可得
$$\dot{X}-{\dot{X}}_r=\left[\begin{array}{l}\dot{x}-{\dot{x}}_r\\ \dot{y}-{\dot{y}}_r\\ \dot{\phi }-{\dot{\phi }}_r\end{array}\right]=\left(\begin{array}{lcc}\frac{\partial f_1}{\partial x}& \frac{\partial f_1}{\partial y}& \frac{\partial f_1}{\partial \phi }\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}& \frac{\partial f_2}{\partial y}& \frac{\partial f_2}{\partial \phi }\\ \frac{\partial f_3}{\partial x}& \frac{\partial f_3}{\partial y}& \frac{\partial f_3}{\partial \phi }\end{array}\right)\left[\begin{array}{l}x-x_r\\ y-y_r\\ \phi -{\phi }_r\end{array}\right]+\left(\begin{array}{lc}\frac{\partial f_1}{\partial v}& \frac{\partial f_1}{\partial \delta }\\ \frac{\partial f_2}{\partial v}& \frac{\partial f_2}{\partial \delta }\\ \frac{\partial f_3}{\partial v}& \frac{\partial f_3}{\partial \delta }\end{array}\right)\left[\begin{array}{l}v-v_r\\ \delta -{\delta }_r\end{array}\right]$$
由此可得
$$\Delta \dot{X}=A_m\Delta X+B_m\Delta u$$
其中$A_m=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -\sin \phi v\\ 0& 0& \cos \phi v\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$,$B_m=\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & 0\\ \sin \phi & 0\\ \frac{\tan \delta }{l}& \frac{v}{l{\cos }^2\delta }\end{array}\right]$,对其进行离散化可得
$$\Delta X(k+1)=A\Delta X(k)+B\Delta u(k)$$
其中$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -\sin \phi vT\\ 0& 1& \cos \phi vT\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{cc}\cos \phi T& 0\\ \sin \phi T& 0\\ \frac{\tan \delta T}{l}& \frac{vT}{l{\cos }^2\delta }\end{array}\right],T$为采样时间，至此完成了该非线性系统的线性化。

3.说明

1.只有当在静态点附近非常小的变化时，线性化才有意义，否则线性化误差会非常大，即线性化的小偏差思想；
2.当工作点不同时，线性化的结果也不同；
3.线性化后的方程一般为增量形式。