深入剖析FP-Growth原理
同步更新公众号：海涛技术漫谈
频繁项挖掘广泛的应用于寻找关联的事物。最经典的就是，电商企业通过分析用户的订单，挖掘出经常被共同购买的商品，用于推荐。
本文首先介绍频繁项挖掘技术的演进，从暴力求解到Aprioir算法。然后，通过一个案例详细的讲解FP-Growth的原理。接下来介绍并行FP-Growth算法怎么通过3次map-reduce实现了并行化。最后通过分析spark mlib包中PFP-Growth的核心实现代码，进一步加深理解。
假设我们的Transaction数据库有5条交易数据，如下表，其中abcde为5个商品。假设设定minSupport = 0.4，即要求至少共同出现2次。
| id | 购买的商品 |
|---|---|
| 1 | a b d |
| 2 | b c d |
| 3 | a b e |
| 4 | a b c |
| 5 | b c d |
表1：交易数据
一：频繁项挖掘的技术演进
1.1 暴力求解
5个sku，一共有2的5次方种购买可能，如下图所示。暴力求解循环每种可能，全量扫描交易数据库计算购买次数，看其是否超过设定的minSupport，进而判断是否是频繁项。
图1: 暴力求解
1.2 Apriori算法
上述的暴力求解方式对每种可能都会进行数据库的全表扫描，效率低下。因此有学者提出了Apriori算法。Apriori中文含义是先验的，因为算法基于这么一个先验知识：当购买组合A不是频繁项时，那么包含A的任何超集也必然不是频繁项。
通过这个先验知识，可以避免大量的无效数据库扫描，提高效率，提高的程度取决于交易数据和设置的minsupport。示意图如下所示：
图2: Apriori算法示意图
二：FP-Growth算法
FP-Growth算法更进一步，通过将交易数据巧妙的构建出一颗FP树，然后在FP树中递归的对频繁项进行挖掘。
FP-Growth算法仅仅需要两次扫描数据库，第一次是统计每个商品的频次，用于剔除不满足最低支持度的商品，然后排序得到FreqItems。第二次，扫描数据库构建FP树。
还是以上面的交易数据作为例子，接下来一步步的详细分析FP树的构建，和频繁项的递归挖掘。
2.1 统计频次
第一步，扫描数据库，统计每个商品的频次，并进行排序，显然商品e仅仅出现了一次，不符合minSupport,剔除。最终得到的结果如下表：
| 商品 | 频次 |
|---|---|
| b | 5 |
| a | 3 |
| c | 3 |
| d | 3 |
表2: 商品的出现频次
2.2 构建FP树
第二步，扫描数据库，进行FP树的构建。FP树以root节点为起始，节点包含自身的item和count，以及父节点和子节点。
首先是第一条交易数据，a b d，结合第一步商品顺序，排序后为b a d，依次在树中添加节点b，父节点为root，最新的的频次为1，然后节点a，父节点为a，频次为1，最后节点d，父节点为b，频次为1。如下图所示：
图3: 第一条交易后的FP树
然后是第二条交易数据，排序后为：b c d。依次添加b，树中已经有节点b，因此更新频次加1，然后是节点c，b节点当前只有子节点d，因此新建节点c，父节点为b，频次为1，最后是d，父节点为c，频次为1。
图4: 第二条交易后的FP树
后面三条交易数据的处理和前两条一样，就不详细阐述了，直接画出每次处理完的FP树示意图。
图5: 第三条交易后的FP树
图6: 第四条交易后的FP树
图7: 第五条交易后的FP树，也即最终的FP树
2.3 频繁项的挖掘
2.3.1 商品b频繁项的挖掘
首先是商品b，首先b节点本身的频次符合minSupport，所以是一个频繁项(b : 5)，然后b节点往上找subTree，只有跟节点，所以解锁，b为前缀的频繁项只有一个：（b : 5）。
2.3.2 商品a频繁项的挖掘
然后是a，显然a本身是个频繁项(a : 3)，然后递归的获取a的子树，进行挖掘。子树构建方式如下：新建一个新的FP树，然后遍历树中所有的a节点，往上找，直到root节点，然后把当前路径上的非根节点添加到subTree中，每个节点的频次为当前遍历节点的频次。
因为a只有一个节点(a, 3)，所以往上遍历得到节点b，因此把b加入subTree中，频次为节点(a, 3)的频次3。得到如下subTree，显然在这个subTree中只能挖掘出频繁项(b : 3)，然后别忘了这是a递归得到的子树，得拼上前缀a，所以得到频繁项为(ab : 3)
图8:a的子树
此时的subTree只有一个节点(b, 3)，不用进一步递归，因此商品a的频繁项挖掘结束，有两个频繁项为：(a : 3), (ab : 3)。
2.3.3 商品c频繁项的挖掘
商品c在FP树中包含两个节点，分别为: (c, 1), (c, 2)。显然c自身是个频繁项(c : 3)，然后进行递归。(c, 1)节点往上路径得到如下节点：(a, 1), (b, 1)。节点(c, 2)往上得到(b, 2)，上述三个节点可以构造出如下的subTree:
图9 ： c的子树
subTree中的节点(b, 3)符合minsupport,拼上前缀c得到频繁项(bc : 3)。节点(a, 1)不满足要求，丢弃。
因此，c挖掘出的频繁项为：(c:3), (cb : 3)
2.3.4 商品d频繁项的挖掘
同理，(d : 3)是一个频繁项，d的subTree为：
图10 ： d的子树
子树首先挖出(c : 2)，(b : 3)，拼上前缀d得到(dc : 2),(db : 3)，然后subTree中的节点c的subTree仅仅有根节点和节点(b, 2)，拼上两个前缀得到(dcb : 2)
2.3.5 最终结果和验证
通过上述的挖掘过程，我们依次挖出了如下9个频繁项：(b : 5), (a : 3), (ab : 3), (c:3), (cb : 3), (d : 3), (dc : 2),(db : 3), (dcb : 2)
我们通过pyspark进行下验证，得到的结果和我们一步步推算的结果丝毫不差。
#!/usr/bin/env python3
#encoding:utf-8
from pyspark.sql import SparkSession
ss = SparkSession.builder \
.appName("test_fp") \
.config("spark.executor.memory", "32G") \
.config("spark.driver.memory", "32G") \
.config("spark.python.worker.memory", "32G") \
.config("spark.default.parallelism", "4") \
.config("spark.executor.cores", "8") \
.config("spark.sql.shuffle.partitions", "500") \
.config("spark.sql.crossJoin.enabled", "true")\
.config("spark.sql.broadcastTimeout","36000") \
.enableHiveSupport() \
.getOrCreate()
data = [["a", "b", "d"], ["b", "c", "d"], ["a", "b", "e"], ["a", "b", "c"],["b", "c", "d"]]
rdd = ss.sparkContext.parallelize(data, 2)
from pyspark.mllib.fpm import FPGrowth
model = FPGrowth.train(rdd, 0.4, 2)
model.freqItemsets().collect()
# 结果如下：
#[FreqItemset(items=['a'], freq=3),
#FreqItemset(items=['a', 'b'], freq=3),
#FreqItemset(items=['b'], freq=5),
#FreqItemset(items=['d'], freq=3),
#FreqItemset(items=['d', 'b'], freq=3),
#FreqItemset(items=['c'], freq=3),
#FreqItemset(items=['c', 'd'], freq=2),
#FreqItemset(items=['c', 'd', 'b'], freq=2),
#FreqItemset(items=['c', 'b'], freq=3)]
三：Parallel FP-Growth
当交易的数据量级太大时，单机版本的FP-Growth内存将无法放下完整的FP树，并且单机效率较慢。如果能够实现并行化那就再好不过了，但是怎么将一颗完整的FP树拆分成多棵小树，分别在不同的机器节点上运行FP-Growth，这些小树得出的结果汇总后不会丢失频繁项，这是关键所在。
在这样的背景下，Google北京研究院相关人员提出了PFP(Parallel FP-Growth)，通过3次Map-Reduce操作对FP-Growth进行了并行化运行。目前各大开发包的实现也都是基于这一篇文章实现的，包括spark和mahout。
通过前面一步步的构建FP树和频繁项挖掘过程，大家应该发现了，挖掘某一个商品的频繁项时，并不是所有的交易数据都是有用的，显然不包含此商品的交易数据肯定是冗余的。PFP的关键就是将商品进行分堆到不同的机器节点上运行，每个节点获取和自己负责的节点相关的部分交易数据，然后后续的构建树和挖掘频繁项工作则是一样的。
第一个map-reduce用于统计每个item的频次，得到frequentSets，功能类似于wordCount。
第二个map-reduce实现分布式的FP-Growth，是关键所在。mapper负责生成group-dependent transactions。首先将frequentSets进行分堆，假设分为两堆，得到如下表的G_list。第一台机器负责b和a的频繁项挖掘，第二台机器负责c和d频繁项的挖掘。
| 商品 | 频次 | group_id(后面简写为gid) |
|---|---|---|
| b | 5 | 1 |
| a | 3 | 1 |
| c | 3 | 2 |
| d | 3 | 2 |
表3：G_list
然后开始划分交易数据，以第一条a b d为例，排序后为b a d。从后往前遍历，首先是d，gid为2，所以得到如下交易数据<2, (b a d)>，第一项为gid，第二个为对应的交易数据。第二个为a，gid为1，得到<1, (b a)>，因为d的频次小于b和a，所以d的存在与否对以b和a为前缀的频繁项挖掘没影响，只对d为前缀的频繁项有作用。最后是d，gid=2,因为已经有了gid=2的交易数据，因此不用处理。
通过上述步骤，可以生成各个group_id需要的交易数据，然后送个reducer。Reducer负责在这些交易数据上进行普通的FP-Growth操作，进行自己负责的item的频繁项的挖掘。
第三次map-reduce对上述不同分区产生的频繁项进行聚合得到最终结果。
总体示意图如下：
图11: PFP运行示意图
四：Spark mlib实现核心方法解析
spark中mlib包对上述的PFP进行了实现，在FPGrowth类的run方法中，代码如下：
def run[Item: ClassTag](data: RDD[Array[Item]]): FPGrowthModel[Item] = {
if (data.getStorageLevel == StorageLevel.NONE) {
logWarning("Input data is not cached.")
}
val count = data.count()
// 计算最小的频次
val minCount = math.ceil(minSupport * count).toLong
// 如果没设置分区数量，就使用训练数据的分区数
val numParts = if (numPartitions > 0) numPartitions else data.partitions.length
val partitioner = new HashPartitioner(numParts)
// 类似wordCount 实现每个item 频次的统计
val freqItems = genFreqItems(data, minCount, partitioner)
// 频繁项的挖掘
val freqItemsets = genFreqItemsets(data, minCount, freqItems, partitioner)
new FPGrowthModel(freqItemsets)
}
考虑篇幅有限，统计item的频次比较简单，就不阐述了。下面介绍生成频繁项的方法：
private def genFreqItemsets[Item: ClassTag](
data: RDD[Array[Item]],
minCount: Long,
freqItems: Array[Item],
partitioner: Partitioner): RDD[FreqItemset[Item]] = {
val itemToRank = freqItems.zipWithIndex.toMap
data.flatMap { transaction =>
// 得到每个分区相关的交易数据
genCondTransactions(transaction, itemToRank, partitioner)
// 按照key进行聚合，key为group_id
}.aggregateByKey(new FPTree[Int], partitioner.numPartitions)(
// 用交易数据对树进行构建
(tree, transaction) => tree.add(transaction, 1L),
// 因为是key是group_id，所以不同item树可能不再一个分区中,
// 所以不同分区，同一个group_id的树进行合并
(tree1, tree2) => tree1.merge(tree2))
.flatMap { case (part, tree) =>
// 对不同gid下的树，进行频繁项的挖掘,第二个参数控制只挖自己gid负责的item
tree.extract(minCount, x => partitioner.getPartition(x) == part)
}.map { case (ranks, count) =>
new FreqItemset(ranks.map(i => freqItems(i)).toArray, count)
}
}
然后是看怎么生成各个group相关的交易数据的。
private def genCondTransactions[Item: ClassTag](
transaction: Array[Item],
itemToRank: Map[Item, Int],
partitioner: Partitioner): mutable.Map[Int, Array[Int]] = {
val output = mutable.Map.empty[Int, Array[Int]]
val filtered = transaction.flatMap(itemToRank.get)
ju.Arrays.sort(filtered)
val n = filtered.length
var i = n - 1
while (i >= 0) {
val item = filtered(i)
// 从后往前。得到item对应的group_id
val part = partitioner.getPartition(item)
if (!output.contains(part)) {
// 如果输出没有这个group_id的数据，加进输出。key为group_id
output(part) = filtered.slice(0, i + 1)
}
i -= 1
}
output
}
FP树的构建
def add(t: Iterable[T], count: Long = 1L): this.type = {
require(count > 0)
var curr = root
curr.count += count
t.foreach { item =>
// summaries用于维护每个item的频次和关联的节点
val summary = summaries.getOrElseUpdate(item, new Summary)
summary.count += count
// 如果当前curr指向节点的子节点没有item，则新建节点，父节点为curr，更新summary
val child = curr.children.getOrElseUpdate(item, {
val newNode = new Node(curr)
newNode.item = item
summary.nodes += newNode
newNode
})
child.count += count
// curr指向新加的节点
curr = child
}
this
}
频繁项的挖掘代码
def extract(
minCount: Long,
validateSuffix: T => Boolean = _ => true): Iterator[(List[T], Long)] = {
summaries.iterator.flatMap { case (item, summary) =>
// summaries维护了所有item的count和节点，拿到前缀符合，频次也符合的节点
if (validateSuffix(item) && summary.count >= minCount) {
// 首先单节点自身是个频繁项，然后拼接递归挖掘出的频繁项
Iterator.single((item :: Nil, summary.count)) ++
// 先生成item对应的子树，然后递归的进行挖掘
project(item).extract(minCount).map { case (t, c) =>
// 子树挖掘的频繁项记得拼上递归前的前缀
(item :: t, c)
}
} else {
Iterator.empty
}
}
}
子树的生成
private def project(suffix: T): FPTree[T] = {
// 新生成一棵树
val tree = new FPTree[T]
if (summaries.contains(suffix)) {
// 得到item的所有节点
val summary = summaries(suffix)
summary.nodes.foreach { node =>
var t = List.empty[T]
var curr = node.parent
// 往上获取到root路径上的所有节点
while (!curr.isRoot) {
t = curr.item :: t
curr = curr.parent
}
// 节点的频次都设置为当前node的频次
tree.add(t, node.count)
}
}
tree
}
五：总结
本文通过简单案例入手，一步步的分析FP-Growth的原理，包括FP树的构建，频繁项的挖掘。然后分析并行FP-Growth以及其在spark中的实现。
认真看完上述的分析，还不懂FP-Growth的算我输！！
六：参考文献
[1] : PFP: Parallel FP-Growth for Query Recommendation