F - Maximum White Subtree

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标签

• 换根dp

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简明题意

• 给定n个节点的树，每个节点的值为0或1.
• 现在需要你对树的每个节点v求出：包含v的联通子图中，节点1的数量减去0的数量，最多是多少。

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思路

• 假如要求的这个点v是根节点，那么我们可以dp，一个值为1的节点，他的值等于他所有子树中，dp为为正数的和。也就是$$dp[u]=\sum _{v=u的所有儿子且dp[v]为正数}dp[v]+(a[u]==1)$$
• 这里是从下往上的，从叶子节点到根节点，那么可以dfs，或者记忆化搜索。
• 这样下来，我们算出了某个节点的答案，复杂度为O(n)。但一共有n个节点，复杂度就是n方了，无法接受。而这里，我们不需要把每个节点当作根都dp一遍，我们可以换根dp。
• 假设我们先以1号节点为根，dp了一遍。那么dp[i]表示的是节点i的子树中，1的数量和0的数量最大的差值。现在看这个图
  
• 假设现在需要计算包含5号节点的最大差值。那么我们可以把这棵树分成两个部分：
  
• 我们令f(x)表示包含x的最大差值。现在计算f(5)，用x、y标出了这两个部分。我们发现y部分，就等于dp[5]，那么dp[5]>0就累加进f(5)。再看x部分。
• 求x部分，可不可以直接用dp[1]-dp[5]？不可以，因为你不知道y这一部分有没有贡献到f(1)中，即使知道f(5)的正负。比如2和3，它们是1的儿子，那么dp[2]和dp[3]可以确定是否贡献到dp[1]中，也就是只要儿子的dp[]值是正数，那么可以贡献到父节点中。而5和1的关系是孙子。孙子是不一定能贡献到爷爷的。举个例子吧，比如2和5节点之间有100个值为0的，那么y部分就算全部是1也不可能贡献进dp[1].
• 所以我们算x部分的时候，应该从y部分的根节点考虑。也就是从5号节点考虑。我们只能知道5号节点能不能给他的父亲2号节点贡献。考虑到这里，就很容易算了，用f(2)-max(dp[5],0)即可。也就是如果dp[5]>0那么它是贡献进了f(2)的，那么就需要减去。否则没有贡献进去，就不需要减去。
• 所以f的递归式是这样的：
  $$f(u)=dp[u]+max(x,0)$$
  其中
  $$x=f(fa[u])-max(dp[5],0)$$
• 先树形dp，再换根dp
• 这里注意一点，x部分要判断正负以决定是否加入贡献。而x部分，不需要考虑正负，直接贡献。因为，我们求的f(u)一定是包含u的。那么dp[u]就刚好包含u了。

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注意事项

• 无

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总结

• 题目询问多个答案，如果每个答案都要以各自的根求出来，那么我们要考虑换根dp

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AC代码

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