1049 数列的片段和 (20分) 找规律，推通项公式 当心溢出

给定一个正数数列，我们可以从中截取任意的连续的几个数，称为片段。例如，给定数列 { 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 }，我们有 (0.1) (0.1, 0.2) (0.1, 0.2, 0.3) (0.1, 0.2, 0.3, 0.4) (0.2) (0.2, 0.3) (0.2, 0.3, 0.4) (0.3) (0.3, 0.4) (0.4) 这 10 个片段。

给定正整数数列，求出全部片段包含的所有的数之和。如本例中 10 个片段总和是 0.1 + 0.3 + 0.6 + 1.0 + 0.2 + 0.5 + 0.9 + 0.3 + 0.7 + 0.4 = 5.0。

输入格式：
输入第一行给出一个不超过 10^​5
​​ 的正整数 N，表示数列中数的个数，第二行给出 N 个不超过 1.0 的正数，是数列中的数，其间以空格分隔。

输出格式：
在一行中输出该序列所有片段包含的数之和，精确到小数点后 2 位。

输入样例：

4
0.1 0.2 0.3 0.4

输出样例：

5.00

思路：这道题有点意思的。我们直接暴力肯定会超，因为枚举起点和终点时间复杂度是O(n^2)，那到了发挥脑筋的时候！
我们换个思路，可不可以算出数列中每个数在所有片段中出现的次数，那样遍历一遍就可以，这样复杂度是O(n),来，动手！

第一个数出现4次，第二个数出现6次，第三个数出现6次，第四个数出现4次。
咋一看n太小了，没啥规律，那我们再回头去看看那几个片段。

诶！第一个数好像只有以他为起点的片段才出现了，而且出现了n次
可以了，有思路了！我们很快想明白，每个数出现的次数分为两部分，第一部分是以他为片段开头的片段个数，第二部分，片段中包含这个数的片段个数
第一部分很容易想到是n-(i-1)。 注意我们的i都是从1开始。
第二部分呢？好像不是很明显呀，有啥规律呀。再看看，诶！好像他在片段中出现的次数都是前面1个数出现的次数-不包括他的次数，例如0.2 出现的次数是0.1出现的次数-只包含0.1的次数 也就是4-1=3.(第二部分) 那么0.2总共出现3+n-(i-1) = 6次
0.3呢,0.2出现的总次数(一、二部分)-包含0.1,0.2的-包含0.2的次数 也就是6-1-1 = 4次(第二部分)那么0.3一共出现4+2 = 6次。

好了！差不多了，在草稿纸上列出来，你就会发现第二部分的次数的公式了。
我们令Fi表示第i个数出现的总次数。
第i个数第二部分的值是 F(i-1) - (i-1) 第一部分是n-(i-1)
那么Fi = F(i-1)+n-2*(i-1)
求出公式，那这道题就差不多了。注意Fi可能超过int要用long long

#include
const int N = 1e5;
typedef long long ll;
//每个数字出现的次数为 Fi = Fi-1 - 2(i-1) + n 
//乖乖，再仔细看看，这个数列可以化简啊。累加得到 Fi = i(n-i+1)。好家伙。
inline double Quick_mul(double a, ll b) {
	//为了让它再快一点，用了快速乘，其实不用也可以过
	double res = 0;
	while (b){
		if (b & 1) res += a;
		a += a;
		b = b >> 1;
	}
	return res;
}
int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	double res = 0,x;
	ll pre_f = 0;
	for (int i = 1;i <= n;++i) {
		scanf("%lf", &x);
		pre_f += (ll)(n - 2 * (i - 1));
		res += Quick_mul(x, pre_f);
	}
	printf("%.2f\n", res);
	return 0;
}

如有写的不清楚的地方，欢迎交流！