栈的应用——运算表达式求值

我们来看一个栈比较常见的应用：数学表达式的求值。

对于任意一个四则运算表达式，比如“9+(5-1)*3+8/2”。我们采用“从左到右，先乘除，后加减，先括号内，后括号外”的原则，口算就可以得出结果，但是计算机是如果算出它的值呢？

后缀（逆波兰）表达式

逆波兰表示法（RPN），是一种由波兰数学家Jan Łukasiewicz 1920年引入的数学表达式，在RPN中，所有操作符置于操作数的后面，因此也被称为后缀表达式（Postfix Notation）。后缀表达式不需要括号来标识操作符的优先级。

而我们生活中使用的表达式方法是中缀表达式（Infix Notation)，即操作符穿插在数字中间。

下面的表格展示了中缀表达式和后缀表达式的对比：

而对于之前的例子“9+(5-1)*3+8/2”，它的后缀表达式为“951-3*+82/+”。

下面我们来看如何将中缀表达式转换为后缀表达式：

1.创建一个操作栈来存放操作符。

2.将输入的字符串转换为List.

3.遍历List

• 如果是数字就输出，成为后缀表达式的一部分；
• 如果是左括号，将其入栈；
• 如果是右括号，将操作栈中所有左括号之上的符号依次出栈，输出到后缀表达式；
• 如果是操作符，判断其与栈顶符号的优先级，如果优先级低于栈顶符号（乘除优先加减），则栈顶元素依次出栈并输出，并将当前符号进栈。

4.当表达式遍历完成，将操作栈中剩余的符号依次出栈并输出。

下面以“9+(5-1)*3+8/2”为例子做演示：

算法代码：

public static List getSuffixCharList(String s) {
        Stack stack = new Stack();
        List list = new ArrayList<>();

        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            char c = s.charAt(i);
            if (Character.isDigit(c)) {
                list.add(c);
            } else {
                if (!stack.empty()) {
                    while (!stack.empty() && priority(c, stack.peek())) { //判断符号优先级
                        if (judgeAngel(c, stack.peek())) { //右括号匹配
                            stack.pop();
                            break;
                        }
                        list.add(stack.pop());
                    }
                    if (c != CLOSE_ANGEL) {
                        stack.push(c);
                    }
                } else {
                    stack.push(c);
                }
            }
        }
        while (!stack.isEmpty()) {
            list.add(stack.pop());
        }
        return list;
    }

后缀表达式求值

好了，现在我们成功把中缀表达式转换为后缀表达式了，接下来看怎么通过后缀表达式求值：

1.创建一个操作栈来存放数字；

2.将输入的字符串转换为List;

3.遍历List

• 如果是数字就进栈
• 如果是符号，就将处于栈顶两个数字出栈，进行运算，运算结构进栈。（注意，对于减法和除法，第二个出栈的数字为被减/除数）

4.当表达式遍历完成，栈中的数字即为最终的计算结果。

同样我们以“9+(5-1)*3+8/2”为例子做演示：

算法代码：

public static int getResult(List characters) {
        Stack stack = new Stack();
        for (int i = 0; i < characters.size(); i++) {
            char c = characters.get(i);
            if (Character.isDigit(c)) {
                stack.push(Integer.parseInt(String.valueOf(c)));
            } else {
                int x = stack.pop();
                int y = stack.pop();
                stack.push(operator(y, x, c));
            }
        }

        return stack.pop();
    }

好了，通过栈来求数学表达式的值已经讲完了，总结一下其实就是两个步骤：

1.将中缀表达式转化为后缀表达式（栈用来进出运算的符号）

2.将后缀表达式进行运算得出结构（栈用来进出运算的数字）

两个步骤都是利用了栈的后进先出的特性，其实理解了栈的这个特性，也就很好理解这个算法了。

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