【数学】张宇概率论九讲笔记

随机事件与概率

$$\begin{array}{rl}1.& 排列组合\\ & 排列A_n^r=n(n-1)\cdots (n-r+1)\\ & 从n个不同的元素中任取r个，按一定顺序排成一列\\ & 组合C_n^r=\frac{n!}{(n-r)!r!}=\frac{A_n^r}{r!}\\ & 从n个不同的元素中任取r个，不计顺序排成一组\\ 2.& 五大公式\\ & 加法公式：P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ & 减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)\\ & 乘法公式：P(AB)+P(A)P(B|A)\\ & 全概率公式：P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)\\ & 逆概率公式：P(A_j|B)=\frac{P(A_{j}B)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)}\\ 3.& 条件概率\\ & P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}⟹P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)\\ 4.& 独立\\ & P(AB)=P(A)P(B)\\ 5.& 伯努利试验\\ & P(X=k)=C_N^K{p}^k(1-p{)}^{n-k}\end{array}$$

一维随机变量及分布

分布函数的性质

$$\begin{array}{rl}& 1.\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0,记为F(-\infty )=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1,记为F(+\infty )=1\\ & 2.F(x)是单调非减函数\\ & 3.F(x)是右连续函数，F(x+0)=F(x)\\ & 若x\in D为一随机事件，则其概率为P(x\in D)={\int }_{D}f(x)dx\end{array}$$

离散型随机变量的分布律与分布函数

$$\begin{array}{rl}& \begin{array}{cccc}x& 1& 2& 3\\ P& 0.1& 0.5& 0.4\end{array}\\ & F(x)=\{\begin{array}{l}0,x<1\\ 0.1,1\le x<2\\ 0.6,2\le x<3\\ 1,3\le x\end{array}\end{array}$$

连续型随机变量的性质

$$\begin{array}{rl}& 1.f(x)\ge 0\\ & 2.{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1\\ & 3.对于\forall x_1<x_2,P(x_1<x\le x_2)={\int }_{x_1}^{x_2}f(t)dt\\ & 4.f(x)在连续点处可导，即F^{\prime }(x)=f(x)\\ & 常考的两个积分\{\begin{array}{l}{\int }_0^{+\infty }{x}^n{e}^{-x}dx=n!\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }\end{array}\end{array}$$

常见分布

$$\begin{array}{rl}& 离散型\\ & \begin{array}{cccc}定义& 0与1& P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}& P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}\\ 称呼& 0-1分布& 二项分布& 泊松分布\\ 记号& X\sim B(1,p)& X\sim B(n,p)& X\sim P(\lambda )\\ 参数& p& p& \lambda \\ 背景& 一次伯努利试验成功或失败的次数& n次伯努利试验成功k次，失败n-k次& 例如每天收到电话、短信的次数\\ EX& p& np& \lambda \\ DX& p(1-p)& np(1-p)& \lambda \end{array}\\ & 连续型\\ & \begin{array}{cccc}定义& f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a},a\le x\le b\\ 0,其他\end{array}& f(x)=\{\begin{array}{l}\lambda e^{-\lambda x},x>0\\ 0,x\le 0\end{array}(\lambda >0)& f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\\ 称呼& 均匀分布& 指数分布& 正态分布\\ 记号& X\sim U[a,b]& X\sim E(\lambda )& X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)\\ 参数& a,b& \lambda & \mu ,\sigma \\ 背景& 等公交、地铁、电梯& 反映使用寿命、生命特征的现象& 考试成绩的分布\\ EX& \frac{a+b}{2}& \frac{1}{\lambda }& \mu \\ DX& \frac{(b-a{)}^2}{12}& \frac{1}{{\sigma }^2}& {\sigma }^2\\ 特殊& & P(x>t)=e^{-\lambda t}(t>0)& X\sim N(0,1)\to \phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\end{array}\end{array}$$

期望方差

$$\begin{array}{rl}期望:& E(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xd[F(x)]=\{\begin{array}{l}{\sum }_i{x}_i{p}_i,X为离散型随机变量\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx,X为连续型随机变量\end{array}\\ & 若随机变量X的概率分布已知，则随机变量函数g(x)的数学期望为E(g(X))=\{\begin{array}{l}{\sum }_{i}g(x_i)p_i,X为离散型\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)dx,X为连续型\end{array}\\ 性质:& E(c)=CE(cX)=CE(X)E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)\\ 方差:& D(X)=E[X-E(X){]}^2=\{\begin{array}{l}{\sum }_i[x_i-E(X){]}^2{p}_i,当X为离散型时\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }[x-E(X){]}^{2}f(x)dx,当X为连续型时\end{array}\\ 性质:& D(c)=0D(cX)=C^{2}D(X)\\ & D(X+Y)=D(X)+D(Y)-2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}\\ & D(X)=e(X^2)-[E(X){]}^{2}D(X+Y)=D(X)+D(Y)(独立)\end{array}$$

宇哥笔记

随机事件与概率

古典概型

定义

$$\begin{array}{rl}[定义]& 若\Omega 中有有限个、等可能的样本点，称为古典概型\\ & 即P(A)=\frac{A中样本点个数}{\Omega 中样本点数}\\ [注]& 1.试验(E)同条件下可重复；试验结果不止一个；试验前不知哪个结果会出现\\ & 2.\Omega ——样本空间——所有可能结果；\omega ——样本点\\ [例]& P(掷出奇数点)=\frac{1}{2}\end{array}$$

随机分配(占位)

$$\begin{array}{rl}[例]& 设n个球随机放入N(n\le N)个盒子中，每个盒子可放任意多个球，求\\ & (1)A=\{某指定n个盒子各有一球\}\\ & (2)B=\{恰有n个盒子各有一球\}\\ & (1)P(A)=\frac{n\cdot (n-1)(n-2)\cdots 1}{N^n}=\frac{n!}{N^n}\\ & (2)P(B)=\frac{C_N^n\cdot n!}{N^n}\\ [注]& 类比:12个人，每个人在365天出生等可能\\ & (1)A=\{生日分别为每个月的第一天\}⟹P(A)=\frac{12!}{365^{12}}\\ & (2)B=\{生日全不相同\}⟹P(B)=\frac{C_{365}^{12}\cdot 12!}{365^{12}}\\ & \overline{B}=\{至少两个人生日相同\}⟹P(\overline{B})=1-P(B)\end{array}$$

简单随机抽样

$$\begin{array}{rl}[例]& 袋中有5个球，3白2黑\\ & (1)先后有放回取2个球\\ & (2)先后无放回取2个球\\ & (3)任取2个球\\ & 求取的2球中至少一个白球的概率\\ & 算‘两球全黑’，用总数减去它\\ & (1)P_1=\frac{5^2-2^2}{5^2}=\frac{21}{25}\\ & (2)P_2=\frac{5\cdot 4-2\cdot 1}{5\cdot 4}=\frac{9}{10}\\ & (3)P_3=\frac{C_5^2-C_2^2}{C_5^2}=\frac{9}{10}\\ [注]& {}^{\prime }先后无放回取k个{球}^{\prime }{与}^{\prime }任取k个{球}^{\prime }概率相等，后者好算\end{array}$$

几何概型

$$\begin{array}{rl}[定义]& 若\Omega 是一个可度量的几何区域，且样本点落入\Omega 中的某一可度量子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，\\ & 而与A的位置、形状无关，称为几何概型,即P(A)=\frac{A的度量}{\Omega 的度量}\\ [引例]& 天上掉馅饼于操场上，拿一个饭盆A去接这个馅饼，P(A)=\frac{A的面积}{\Omega 的面积}\\ [例]& 随机取两个正数x,y，这两个数中的每一个都不超过1，求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率.\\ & S_A={\int }_{0.1}^{0.9}[1-x-\frac{0.09}{x}]dx=0.8-\frac{x^2}{2}{|}_{0.1}^{0.9}-0.09\ln x{|}_{0.1}^{0.9}=0.8-0.4-0.18\cdot \ln 3\approx 0.2\\ & P(A)=\frac{S_A}{S_{\Omega }}=20\%\end{array}$$

重要公式

$$\begin{array}{rl}[公式]1.& 对立P(A)=1-P(\overline{A})\\ 2.& 减法P(A\overline{B})=P(A-B)=P(A)-P(AB)(A发生且B不发生)\\ 3.& 加法(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ & (2)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)\\ & [注]1.若A_1,A_2,\cdots ,A_n(n>3)两两互斥⟹P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)\\ & 2.设A_1,A_2,\cdots ,A_n(n>3),若对其中任意有限个A_{i1},A_{i2},\cdots ,A_{ik}(k\ge 2),\\ & 都有P(A_{i1}{A}_{i2}\cdots A_{ik})=P(A_{i1})P(A_{i2})\cdots P(A_{ik})⟹A_1,A_2,\cdots ,A_n相互独立\\ & {且}^{\prime }夫唱妇{随}^{\prime }，即：n个事件相互独立⟺A,B独立⟺\overline{A},\overline{B}独立⟺\overline{A},B独立⟺A,\overline{B}独立\\ & n=3,A_1,A_2,A_3,有\{\begin{array}{l}P(A_1{A}_2)=P(A_1)P(A_2)\\ P(A_1{A}_3)=P(A_1)P(A_3)\\ P(A_2{A}_3)=P(A_2)P(A_3)\\ P(A_1{A}_2{A}_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)\end{array}相互独立\\ & 若上者只成立前三条，则称为两两独立\\ & 于是若A_1,A_2,\cdots ,A_n相互独立，则P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=1-P(\bigcup _{i=1}^n{A}_i)=1-P(\bigcap _{i=1}^n\overline{A_i})=1-\prod _{i=1}^n[1-P(A_i)]\\ & 即\overline{A_1},\overline{A_2},\cdots ,\overline{A_n}相互独立\\ 4.& 条件概率P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)},P(B)>0\\ 5.& 乘法P(AB)=\{\begin{array}{l}P(B)P(A\mid B),P(B)>0\\ P(A)P(B\mid A),P(A)>0\end{array}\\ & P(A_1{A}_2{A}_3)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1{A}_2)\\ 6.& 全集分解公式（全概率公式）\\ & [引例]一个村子有且仅有三个小偷A_1,A_2,A_3,求P(B)=P\{失窃\}\\ & 分成两个阶段\{\begin{array}{l}1.选人A_1,A_2,A_3\\ 2.去偷,B\end{array}\\ & 则P(B)=P(B\Omega )=P(B\cap (A_1\cup A_2\cup A_3))\\ & =P(B{A}_1\cup B{A}_2\cup B{A}_3)=P(B{A}_1)+P(B{A}_2)+P(B{A}_3)\\ & =P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)+P(A_3)P(B\mid A_3)\\ & 故P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B\mid A_i)\\ 7.& 贝叶斯公式（逆概率公式）若B发生了，执果索因\\ & P(A_j\mid B)=\frac{P(A_{j}B)}{P(B)}=\frac{P(A_j)P(B\mid A_j)}{{\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)P(B\mid A_i)}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}[例1]& 以下结论，错误的是（D）？\\ & (A)若0<P(B)<1,P(A\mid B)+P(\overline{A}\mid \overline{B})=1\\ & (B)若A,B满足P(B\mid A)=1,则P(A-B)=0\\ & (C)(A-B)\cup B=A\cup B\\ & (D)若A,B同时发生时，C必发生，则P(C)<P(A)+P(B)-1\\ & (A)\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{1-P(A+B)}{1-P(B)}=\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{1-P(A)-P(B)+P(AB)}{1-P(B)}\\ & =\frac{P(AB)-P(AB)P(B)+P(B)-P(A)P(B)-[P(B){]}^2+P(B)P(AB)}{P(B)[1-P(B)]}=1\\ & ⟹P(AB)+P(B)-P(A)P(B)-[P(B){]}^2=P(B)-[P(B){]}^2⟹P(AB)=P(A)P(B)\\ & (B)\frac{P(AB)}{P(A)}=1⟹P(AB)=P(A)\\ & ⟹P(A-B)=P(A)-P(AB)=0\\ & (C)(A\overline{B})\cup B=(A\cap \overline{B})\cup B=(A\cup B)\cap (\overline{B}\cup B)=A\cup B\\ & (D)P(AB)\le P(C)⟹P(A)+P(B)-P(A+B)\le P(C)\\ & ⟹P(A)+P(B)-P(A+B)\ge P(A)+P(B)-1⟹P(C)\ge P(A)+P(B)-1\\ [例2]& 设有甲、乙两名运动员，甲命中目标的概率为0.6,乙命中目标的概率为0.5,求下列概率。\\ & (1)从甲、乙中任选一人取射击，若目标被命中，则是甲命中的概率是多少？\\ & (2)甲、乙各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率？\\ & (1)分两个阶段\{\begin{array}{l}1.选人，A_{甲}，A_{乙}\\ 2.射击，命中=B\end{array}\\ & P(A_{甲}\mid B)=\frac{P(A_{甲})P(B\mid A_{甲})}{P(A_{甲})P(B\mid A_{甲})+P(A_{乙})P(B\mid A_{乙})}\\ & =\frac{\frac{1}{2}\cdot 0.6}{\frac{1}{2}\cdot 0.6+\frac{1}{2}\cdot 0.5}=\frac{6}{11}\\ & (2)P(A_{甲}\mid B)=\frac{P(A_{甲}B)}{P(B)}=\frac{P(A_{甲})}{P(A_{甲})+P(A_{乙})-P(A_{甲}{A}_{乙})}=\frac{0.6}{0.6+0.5-0.6\cdot 0.5}=\frac{3}{4}\\ [例3]& 每箱有24只产品，每箱含0,1,2件残品的箱各占80\%,15\%,5\%,现随机抽一箱，随即检验其中4只,\\ & 若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换，求\\ & (1)一次通过验收的概率\\ & (2)通过验收的箱中确无残品的概率\\ & (1)记A_i=\{抽取的一箱中含i件残品\}.i=0,1,2.\\ & 但P(A_0)=0.8,P(A_1)=0.15,P(A_2)=0.05\\ & 分阶段\{\begin{array}{l}1.取箱子\\ 2.取4只检验，收为Bor不收为\overline{B}\end{array}\\ & P(B)=P(A_0)P(B\mid A_0)+P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)\\ & =0.8\cdot 1+0.15\cdot \frac{C_{23}^4}{C_{24}^4}+0.05\cdot \frac{C_{22}^4}{C_{24}^4}\approx 0.96\\ & (2)P(A_0\mid B)=\frac{0.8}{0.96}\approx 0.83\end{array}$$

一维随机变量及其分布

随机变量与分布函数

$$\begin{array}{rl}& (1)r,v(随机变量)定义在\Omega =\{\omega \}上，取值在实数轴上的变量。即X=X(\omega ),\omega \in \Omega \\ & (2)分布函数F(x)=P\{X\le x\},其中-\infty <x<+\infty .\end{array}$$

离散型随机变量

$$\begin{array}{rl}[定义]& x取有限个或无穷可列个值\\ [分布律]& x\sim \left(\begin{array}{ccccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n& \cdots \\ P_1& P_2& \cdots & P_n& \cdots \end{array}\right)\\ & F(x)=P\{X\le x\},离散型r,v⟺步步高的阶梯形函数\end{array}$$

连续型随机变量

$$\begin{array}{rl}[定义]& 若存在非负可积函数f(x),使得\forall x\in (-\infty ,+\infty ),有F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt,则称x为连续型r,v.f(x)叫概率密度\\ [注]& F(x)=P\{X\le x\}=\{\begin{array}{l}{\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt,连续型\\ {\sum }_{x_i\le x}{P}_i,离散型\end{array}\end{array}$$

X~F(x)

$$\begin{array}{rl}& X\sim F(x)\{\begin{array}{l}{P}_i\to 分布律\\ f(x)\to 概率密度\end{array}\\ & (1)F(x)是某个X的分布函数⟺\{\begin{array}{l}1.单调不减\\ 2.F(-\infty )=0,F(+\infty )=1\\ 3.右连续(等号跟着大于号)\end{array}\\ & (2)\{P_i\}是分布律⟺\{\begin{array}{l}1.P_i\ge 0\\ 2.{\sum }_i{P}_i=1\end{array}\\ & (3)f(x)是概率密度⟺\{\begin{array}{l}1.f(x)\ge 0\\ 2.{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1\end{array}\end{array}$$

八个常见分布

$$\begin{array}{rl}& (1)-(5)离散型(6)-(8)连续型\\ (1)& 0-1分布X\sim \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ P& 1-P\end{array}\right)\\ (2)& 二项分布\{\begin{array}{l}1.独立\\ 2.P(A)=P\\ 3.只有A,\overline{A},非白即黑\end{array}\\ & 记X为A发生的次数,P\{x=k\}=C_n^k{P}^k(1-P{)}^{n-k},k=0,1,\cdots ,n\\ & ⟹X\sim B(n,P)\\ (3)& 几何分布与几何无关，首中即停止，记X为试验次数⟹P\{x=k\}=P^1(1-P{)}^{k-1},k=1,2,\cdots \\ (4)& 超几何分布古典概型，设N件产品，M、件正品，N-M件次品，无放回取n次，则P\{x=k\}=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\\ (5)& 泊松分布某时间段内，某场合下，源源不断的质点来流的个数,也常用于描述稀有事件的P\\ & P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },\{\begin{array}{l}\lambda --强度\\ k=0,1,\cdots \end{array}\\ (6)& 均匀分布对比几何概型，若X\sim f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a},a\le x\le b\\ 0,其他\end{array},称X\sim U[a,b]\\ & [注]高档次说法：“X在I上的任意子区间取值的概率与该子区间长度成正比”\to X\sim U(I)\\ (7)& 指数分布X\sim f(x)=\{\begin{array}{l}\lambda e^{-\lambda x},x>0\\ 0,x\le 0\end{array},称X\sim E(\lambda ),\lambda --失效率\\ & [注]无记忆性P\{X\ge t+s\mid X\ge t\}=P\{x\ge s\}\\ & F(x)=P\{X\le x\}={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt=\{\begin{array}{l}1-e^{-\lambda x},x\ge 0\\ 0,x<0\end{array}\\ & \{\begin{array}{l}几何分布，离散性等待分布\\ 指数分布，连续性等待分布\end{array}\\ (8)& 正态分布X\sim f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<+\infty \\ & [注]若\mu =0,{\sigma }^2=1⟹X\sim N(0,1)\\ & X\sim \phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\\ & X\sim \Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}[例1]& 设X\sim F(x),f(x)=a{f}_1(x)+b{f}_2(x),f_1(x)\sim N(0,{\sigma }^2),f_2(x)\sim E(\lambda )\\ & F(0)=\frac{1}{8},则a=\underline{},b=\underline{}\\ & 1.{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=a{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(x)dx+b{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_2(x)dx⟹1=a+b\\ & 2.F(0)={\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx=a{\int }_{-\infty }^0{f}_1(x)dx+b{\int }_{-\infty }^0{f}_2(x)dx=\frac{1}{8}\\ & 即a\cdot \frac{1}{2}+b\cdot 0=\frac{1}{8}⟹a=\frac{1}{4}⟹b=\frac{3}{4}\\ [例2]& X\sim f(x)=\{\begin{array}{l}A{e}^{-x},x>\lambda \\ 0,其他\end{array},\lambda >0,P\{\lambda <X<\lambda +a\}(a>0)的值\\ & {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1⟹{\int }_{\lambda }^{+\infty }A{e}^{-x}dx=1⟹A\cdot e^{-x}{\mid }_{+\infty }^{\lambda }=A{e}^{-\lambda }=1⟹A=e^{\lambda }\\ & ⟹P\{\lambda <X<\lambda +a\}={\int }_{\lambda }^{\lambda +a}{e}^{\lambda }\cdot e^{-x}dx=e^{\lambda }[e^{-x}]{\mid }_{\lambda +a}^{\lambda }=e^{\lambda }\cdot (e^{-\lambda }-e^{-(\lambda +a)})=1-e^{-a}\\ & 故其值与\lambda 无关，随着a的增大其概率增大\\ [例3]& X\sim E(\lambda ),对X作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于2的概率为\frac{7}{8},则\lambda =\underline{}\\ & 记Y=\{对X作三次独立重复观察中观测值大于2发生的次数\}⟹Y\sim B(3,P)\\ & 其中P=\{X>2\}={\int }_2^{+\infty }f(x)dx=1-P\{X\le 2\}=1-F(2)=1-[1-e^{-2\lambda }]=e^{-2\lambda }\\ & 由题意，得P\{Y\ge 1\}=\frac{7}{8}=1-P\{Y=0\}=1-(1-P{)}^3=1-(1-e^{-2\lambda }{)}^3\\ & ⟹e^{-2\lambda }=\frac{1}{2}⟹\lambda =-\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ln 2\\ [例4]& X\sim E(\lambda )求Y=1-e^{-\lambda x}\sim f_Y(y)\\ & X\sim f_X(x),Y=g(X),求f_Y(y)\\ & 1.F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{g(X)\le y\}=P\{X\in I_y\}={\int }_{I_y}{f}_x(x)dx\\ & 2.f_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)\\ & 1.F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{1-e^{-\lambda x}\le y\}\\ & (1)y<0⟹F_Y(y)=0\\ & (2)y\ge 1⟹F_Y(y)=1\\ & (3)0\le y\le 1⟹F_Y(y)=P\{0\le X\le -\frac{1}{\lambda }\ln (1-y)\}=F_X(-\frac{1}{\lambda }\ln (1-y))=1-e^{-\lambda [-\frac{1}{\lambda }\ln (1-y)]}\\ & 2.f_Y(y)=\{\begin{array}{l}1,0\le y<1\\ 0,其他\end{array}\end{array}$$

多元随机变量及其分布

概念

$$\begin{array}{rl}1.& 联合分布设(X,Y),F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\},-\infty <x<+\infty ,-\infty <y<+\infty \\ 2.& 边缘分布F_X(x)=\underset{y\to +\infty }{\lim }F(x,y),F_Y(y)=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x,y)\\ [注]& 1.离散型(X,Y)\sim P_{ij}(联合分布律)\\ & 条件分布为P(X=x_i\mid Y=y_i)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{P_{ij}}{P_{\cdot j}}\\ & P(X=1\mid Y=0)=\frac{P_{21}}{P_{\cdot 1}}\\ & 条件=\frac{联合}{边缘}\\ & 2.连续型(X,Y)\sim f(x,y)(联合概率密度)\\ & 边缘密度为f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy,f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx\\ & 条件密度为f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\\ & 无论离散还是连续，条件=\frac{联合}{边缘}\\ 3.& 独立性设(X,Y),X,Y独立⟺F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)\\ & ⟺P_{ij}=P_{i\cdot }\cdot P_{\cdot j},\forall i,j\\ & ⟺f(x,y)=f_{}\\ 4.& \\ & \\ & \\ & \end{array}$$