hihoCoder 1303 模线性方程组

模线性方程组

描述：

给定了n组除数m[i]和余数r[i]，通过这n组(m[i],r[i])求解一个x，使得x mod m[i] = r[i]。

算法思想：

一开始就直接求解多个方程不是太容易，我们从n=2开始递推：

已知：

x mod m[1] = r[1]
x mod m[2] = r[2]

根据这两个式子，我们存在两个整数k[1],k[2]：

x = m[1] * k[1] + r[1]
x = m[2] * k[2] + r[2]

由于两个值相等，因此我们有：

	m[1] * k[1] + r[1] = m[2] * k[2] + r[2]
=>	m[1] * k[1] - m[2] * k[2] = r[2] - r[1]

由于m[1],m[2],r[1],r[2]都是常数，若令A=m[1],B=m[2],C=r[2]-r[1],x=k[1],y=k[2]，则上式变为：Ax + By = C。

是不是觉得特别眼熟。

没错，这就是我们之前讲过的扩展欧几里德。

我们可以先通过gcd(m[1], m[2])能否整除r[2]-r[1]来判定是否存在解。

假设存在解，则我们通过扩展欧几里德求解出k[1],k[2]。

再把k[1]代入x = m[1] * k[1] + r[1]，就可以求解出x。

同时我们将这个x作为特解，可以扩展出一个解系：

X = x + k*lcm(m[1], m[2]) k为整数

lcm(a,b)表示a和b的最小公倍数。其求解公式为lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)。

将其改变形式为：

X mod lcm(m[1], m[2]) = x。

令M = lcm(m[1], m[2]), R = x，则有新的模方程X mod M = R。

此时，可以发现我们将x mod m[1] = r[1]，x mod m[2] = r[2]合并为了一个式子X mod lcm(m[1], m[2]) = x。满足后者的X一定满足前两个式子。

每两个式子都可以通过该方法化简为一个式子。那么我们只要重复进行这个操作，就可以将n个方程组化简为一个方程，并且求出一个最后的解了。

将其写做伪代码为：

M = m[1], R = r[1]
For i = 2 .. N 
	d = gcd(M, m[i])
	c = r[i] - R
	If (c mod d) Then	// 无解的情况
		Return -1
	End If
	(k1, k2) = extend_gcd(M / d, m[i] / d)	// 扩展欧几里德计算k1,k2
	k1 = (c / d * k1) mod (m[i] / d)	// 扩展解系
	R = R + k1 * M		// 计算x = m[1] * k[1] + r[1]
	M = M / d * m[i] 	// 求解lcm(M, m[i])
	R %= M 			// 求解合并后的新R，同时让R最小
End For		
If (R < 0) Then 
	R = R + M
End If
Return R

AC代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

typedef long long ll;
int n;
ll m[1005],r[1005];

ll gcd(ll a, ll b){
    if(b == 0)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}

ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
    if(a==0 && b==0) return -1;// 无最大公约数
    if(b == 0){x = 1; y = 0; return a;}
    ll d = extend_gcd(b,a%b,y,x);
    y -= a/b*x;
    return d;
}

ll solve(){
    ll M = m[0],R = r[0];
    for(int i = 1; i < n; ++i){
        ll d = gcd(M,m[i]);
        ll c = r[i]-R;
        if(c % d)
            return -1;// 无解的情况
        ll k1,k2;
        extend_gcd(M/d,m[i]/d,k1,k2);// 扩展欧几里德计算k1,k2
        k1 = (c/d*k1)%(m[i]/d);// 扩展解系
        R += k1*M;// 计算x = m[1] * k[1] + r[1]
        M = M/d*m[i];// 求解lcm(M, m[i])
        R %= M;// 求解合并后的新R，同时让R最小
    }
    if(R < 0)
        R += M;
    return R;
}

int main(){
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            scanf("%d%d",&m[i],&r[i]);
        }
        printf("%lld\n",solve());
    }
    return 0;
}