聚类之DBSCAN算法（递归实现）

前言

  前面介绍的K-Means、K-Means++和Mean Shift算法都是基于距离的聚类算法，它们聚类的结果基本上都是球状的簇，也就是前面几篇博客的聚类结果。如果数据集的聚类结果是非球状时，基于距离的聚类效果并不好，而基于密度的聚类算法能够较好地处理非球状结构的数据，而且能处理任意形状的聚类。如下图所示。  通常情况下，密度聚类算法从样本密度的角度$($假设聚类结构能通过样本分布的紧密程度来确定$)$来考察样本之间的可连续性，并基于可连续样本不断扩展聚类簇以获得最终的聚类结果。
  DBSCAN，全名为$Density-Based$ $Spatial$ $Clustering$ $of$ $Application$ $with$ $Noise$，即基于密度对噪声鲁棒的空间聚类$($一知乎前辈是这样翻译的，我觉得还挺准确的$)$，是一种典型的基于密度的聚类算法。本篇博客就介绍介绍它─=≡Σ(((つ•̀ω•́)つ。

1. 基本概念

  DBSCAN算法根据邻域参数$ϵ$和$MinPts$来刻画样本分布的紧密程度。假设有数据集$D=\{x_1,x_2,...,x_m\}$：

• $ϵ$-邻域$(ϵ-neighborhood)$：对$x_j\in D$，其$ϵ$-邻域包含样本集$D$中与$x_j$的距离不大于$ϵ($半径$)$的样本，即$N_{ϵ}(x_j)=\{x_i\in D|distance(x_i,x_j)\le ϵ\}$。如上图中，半径$(ϵ)$就是紫色的箭头，$ϵ$-邻域就是橙色圆所在区域。
• $核心对象$$(core$ $object)$：若$x_j$的$ϵ$-邻域至少包含$MinPts$个样本，即$|N_{ϵ}(x_j)|\ge MinPts$，则$x_j$是一个核心对象。如上图中的$x_1,x_2,x_3,x_4$。
• $密度直达$$(directly$ $density-reachable)$：若$x_j$位于$x_i$的$ϵ$-邻域中，且$x_i$是核心对象，则称$x_j$由$x_i$密度直达。如上图中的$x_2$由$x_1$密度直达，$x_3$由$x_2$密度直达。
• $密度可达$$(density-reachable)$：对$x_i$与$x_j$，若存在样本序列$p_1,p_2,...,p_n$，其中$p_1=x_i$，$p_n=x_j$且$p_{i+1}$由$p_i$密度直达，则称$x_j$由$x_i$密度可达。如上图中，$x_3$由$x_1$密度可达，$x_4$由$x_1$密度可达。
• $密度相连$$(density-connected)$：对$x_i$与$x_j$，若存在$x_k$使得$x_i$与$x_j$均由$x_k$密度可达，则称$x_i$与$x_j$密度相连。如上图中，$x_3$与$x_4$密度相连。
• $簇$$(cluster)$：由密度可达关系导出的最大的密度相连样本集合$C$。
• $边界点$$(border$ $point)$：位于核心点的邻域内，但自身领域内样本点个数小于$MinPts$的样本；
• $噪声$$(noise)$：数据集$D$中不属于任何簇的样本。

2. 算法流程

  对于给定的邻域参数$(ϵ,MinPts)$：

• 计算各个样本点之间的距离；
• 找出各样本的$ϵ$-邻域并确定核心对象集合$\Omega$；
• 从$\Omega$中随机选取一个核心对象作为种子，找出由它密度可达的所有样本，即构成了第一个聚类簇$C_1$；
• 将$C_1$中包含的核心对象从$\Omega$中去除，更新$\Omega$；
• 从更新后的集合$\Omega$中随机选取一个核心对象作为种子来生成下一个聚类簇$C_2$；
• 不断重复上述过程，直至集合$\Omega$为空，得到最终的聚类结果$C=\{C_1,C_2,...,C_n\}$。

3. 代码实现

  根据上述算法流程，我用递归的方法实现了该算法。数据加载函数和画图函数可以参考以前的博客，主要代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


def o_distance(data):
    """
    计算样本点之间的距离(欧式距离的平方)
    :param data:
    :return:
    """
    dim_m = np.shape(data)[0]
    distance = np.array(np.zeros(shape=(dim_m, dim_m)))
    for index in range(dim_m):
        temp = data[index] - data
        distance[index] = np.sum(np.square(temp), axis=1)

    return distance


def get_coreobject(distance, r, minpts):
    """
    找出各样本的邻域并确定核心对象集合
    :distance:
    :r:
    :minpts:
    :return: 各样本的索引
    """
    coreobject = []
    neighborhood = []
    dim_m = np.shape(distance)[0]
    for index in range(dim_m):
        if len(distance[index][distance[index] <= r]) - 1 >= minpts:
            coreobject.append(index)
            # 返回元组
            y = np.where(distance[index] <= r)[0]
            neighborhood.append(np.setdiff1d(y, [index]))
    
    return np.asarray(coreobject), np.asarray(neighborhood)


def get_cluster(coreobject, neighborhood, coreobject_random):
    core_o.append(coreobject_random)
    coreobject_index = np.where(coreobject == coreobject_random)[0][0]
    core_index.append(coreobject_index)
    # 核心对象的邻域
    for ddr in neighborhood[coreobject_index]:
        # 密度直达, 即邻域里的样本
        if ddr not in C1:
            C1.append(ddr)
            if ddr in coreobject:
                # 如果这个样本也是核心对象, 继续找它的密度直达
                get_cluster(coreobject, neighborhood, ddr)
            else:
                for border_point_index in range(len(neighborhood)):
                    if ddr in neighborhood[border_point_index]:
                        # 这是一个边界点, 然后找其核心对象
                        border_point_core = coreobject[border_point_index]
                        if border_point_core in coreobject:
                            get_cluster(coreobject, neighborhood, border_point_core)
                    else:
                        continue


def dbscan(coreobject, neighborhood):
    """
    DBSCAN算法实现---递归---简单粗暴
    :param coreobject: 核心对象集合
    :param neighborhood: 核心对象的邻域集合
    :return: 返回的簇不包含未标记的样本点
    """
    # 总簇
    C = []
    global C1
    global core_o
    global core_index
    while len(coreobject) > 0:
        C1 = []
        core_o = []
        core_index = []
        # 随机选择核心对象
        coreobject_random = np.random.choice(coreobject)
        C1.append(coreobject_random)
        get_cluster(coreobject, neighborhood, coreobject_random)

        C.append(C1)
        coreobject = np.setdiff1d(coreobject, core_o)
        neighborhood = np.delete(neighborhood, obj=core_index)

    return C


def get_label(data_arr, cluster_c):
    dim_m = np.shape(data_arr)[0]
    labels = np.array(-np.ones(shape=dim_m, dtype=np.int8))
    label_num = 0
    for index in cluster_c:
        labels[index] = label_num
        label_num += 1

    return labels


if __name__ == '__main__':
    data_arr = load_data('./data/data.txt')
    distance_arr = o_distance(data_arr)
    coreobject, neighborhood = get_coreobject(distance_arr, 0.07, 7)
    cluster_c = dbscan(coreobject, neighborhood)
    labels = get_label(data_arr, cluster_c)
    draw_picture(data_arr, labels)

  运行的最终结果就是这样：

  DBSCAN算法主要在于参数$(ϵ,MinPts)$的选择，需要不断的去尝试，这也是它的不足之处吧。上图的参数是$(0.07,7)$，如果改成$(0.05,7)$，就变成了下面这个结果，图中的黑点被划分为了噪声。

结束语

  这篇博客终于写完了哈哈哈，快一个周了─=≡Σ(((つ•̀ω•́)つ，白天复习晚上抽一点时间写写博客，敲敲代码。我的DBSCAN实现代码相比其他的代码思路稍微清晰些，简单粗暴地用递归实现了哈哈哈哈(～￣▽￣)～ ，毕竟如果用递归处理大样本数据开销还是稍微有点大的，除此之外，里面还有几处需要优化的地方，比如那个找边界点的地方。以后有想法再优化哈哈哈哈，睡觉(⁎˃ᴗ˂⁎)。