算法竞赛专题解析（20）：数论--GCD和LCM

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   最大公约数¹和最小公倍数（Least Common Multiple）是竞赛中频繁出现的考点。

1. GCD定义

   整数a和b的最大公因数是指能同时整除a和b的最大整数，记为gcd(a, b)。
   例如：gcd(15, 81) = 3，gcd(0, 44) = 44，gcd(0, 0) = 0，gcd(-6, -15) = 3，gcd(-17，289) = 17。
   注意：由于-a的因子和a的因子相同，因此gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)。编码时只需要关注正整数的最大公因数。

2. GCD性质

  （1）gcd(a,b) = gcd(a, a+b) = gcd(a, ka+b)
  （2）gcd(ka, kb) = k·gcd(a, b)
  （3）定义多个整数的最大公约数：gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)
  （4）若gcd(a, b) = d，则gcd(a/d, b/d) = 1，即a/d与b/d互素。这个定理很重要。
  （5）gcd(a+cb, b) = gcd(a, b)

3. GCD编码

  编程时可以直接用c++函数std::__gcd(a, b)。注意：参数a和b都应该是正整数，否则可能会返回负数。下面介绍三种算法。

3.1 欧几里得算法

  用辗转相除法求gcd，即gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。代码是：

int gcd(int a, int b){  // 一般要求a>=0, b>0。若a=b=0，代码也正确，返回0
	return b? gcd(b, a%b):a;
}

  这是竞赛中最常用的编码，它极为高效，“拉梅定理”给出了复杂度分析。
  拉梅定理：用欧几里得算法计算两个正整数的最大公因数，需要的除法次数不会超过两个整数中较小的哪个十进制数的位数的5倍。
  推论：用欧几里得算法求gcd(a, b)，a > b，需要$O((lo{g}_{2}a{)}^3)$次位运算。
  欧几里得算法的缺点是需要做除法取模运算，而高精度大数的除法比较耗时，此时可以用“更相减损术”²和stein算法，它们只用到了减法和移位操作。

  不过，在竞赛中不太可能直接使用“更相减损术”和stein算法求最大公约数。下面的介绍，只是为了帮助读者理解GCD的性质。

3.2 更相减损术

  计算基于这一性质：gcd(a, b) = gcd(b, a-b) = gcd(a, a-b)。

  计算步骤：用较大的数减较小的数，把所得的差与较小的数比较，然后继续做减法操作，直到减数和差相等为止。
  编码也很简单：

int gcd(int a, int b){
   while(a != b){   //a==b时结束计算
	   if(a > b)  a = a - b;
	   else       b = b - a;
   }
   return a;
}

  更相减损术虽然避免了欧几里得的取模计算，但是计算次数比欧几里得算法多很多，极端情况下需要计算$O(max(a,b))$次，例如a = 100，b = 1时，需计算100次。

3.3 Stein算法

  它是更相减损术的改进。求gcd(a, b)时，可以分为几个情况进行优化：
  1）a、b都是偶数。gcd(a, b) = 2gcd(a/2, b/2)，计算减半。
  2）a奇b偶（或a偶b奇）。根据这一原理：若k与y互为质数，有gcd(kx, y) = gcd(x, b)。k = 2时，有gcd(a, b) = gcd(a/2, b)，即偶数减半。
  3）a、b都是奇数。gcd(a, b ) = gcd( (a+b)/2, (a-b)/2 )。
  算法的结束条件仍然是gcd(a, a) = a。
  除2操作用移位就可以了，所以Stein算法只用到加减法和移位。
  关于高精度大数的GCD计算，读者可以用下面这一题练习，类似的题有hdu 5050。

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SuperGCD 洛谷 P2152
题目描述：求2个正整数a，b的最大公约数，0 < a, b ≤ $10^{10000}$。

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  不过，由于OJ都支持java，比赛的时候直接用java函数处理大数是最简单的：

//洛谷 P2152的java代码
import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main {
	public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
		BigInteger a = in.nextBigInteger();
		BigInteger b = in.nextBigInteger();
		System.out.println(a.gcd(b));
	}
}

4. LCM

  a和b的最小公倍数lcm(a, b)，可以从算术基本定理推理得到。
  算术基本定理（唯一分解定理）：任何大于1的正整数n都可以唯一分解为有限个素数的乘积：$n=p_1^{c_1}\cdot p_2^{c_2}...\cdot p_m^{c_m}$，其中$c_i$都是正整数，$p_i$都是素数且从小到大。
  设：$a=p_1^{c_1}\cdot p_2^{c_2}...\cdot p_m^{c_m}$，$b=p_1^{f_1}\cdot p_2^{f_2}...\cdot p_m^{f_m}$
  那么：
    $gcd(a,b)=p_1^{min\{c_1,f_1\}}\cdot p_2^{min\{c2,f2\}}...\cdot p_m^{min\{cm,fm\}}$，
    $lcm(a,b)=p_1^{max\{c_1,f_1\}}\cdot p_2^{max\{c2,f2\}}...\cdot p_m^{max\{cm,fm\}}$
  推出：
    $gcd(a,b)\ast lcm(a,b)=a\ast b$，
  即:
    $lcm(a,b)=a\ast b/gcd(a,b)=a/gcd(a,b)\ast b$。
  注意先做除法再做乘法，如果先做乘法可能会溢出³。

int lcm(int a, int b){ 
	return a / gcd(a, b) * b;
}

5. 例题

  （1）hdu 5019
  题目描述：给出整数x、y、k，求x、y的第k大公约数。
  题解：先求最大公因数d = gcd(x, y)，由于其他公因子都是d的因子，那么从1到$\sqrt{d}$（注意不需要到d）逐个检查是否能整除d，即可找到所有公因子。

  （2）hdu 2503
  题目描述：给出2个分数a/b和c/d，求a/b + c/d，要求是最简形式。
  题解：a/b + c/d = (ad + bc) / bd，分子和分母除以两者的最大公约数。

   （3）hdu 2504
  题目描述：已知a和b，求满足gcd(a,c) = b的最小的c。
  题解：暴力搜b到a*b内符合条件的c。

  （4）hdu 4497
  题目描述：给定两个正整数G、L，问满足gcd(x, y, z) = G和lcm(x, y, z) = L的(x, y, z)有多少个？注意，(1, 2, 3)和(1, 3, 2)是不同的。
  题解。此题利用了GCD的几个性质：
  1）若gcd(a, b) = d，则gcd(a/d, b/d) = 1，即a/d与b/d互素；
  2）$gcd(a,b)=p_1^{min\{c_1,f_1\}}\cdot p_2^{min\{c2,f2\}}...\cdot p_m^{min\{cm,fm\}}$
  3）$lcm(a,b)=p_1^{max\{c_1,f_1\}}\cdot p_2^{max\{c2,f2\}}...\cdot p_m^{max\{cm,fm\}}$
  若L % G ≠ 0，显然无解。下面分析L % G = 0的情况。
  把问题转化为：满足gcd(x/G, y/G, z/G) = 1和lcm（x/G，y/G，z/G）= L/G的(x/G, y/G, z/G)有多少个。下面用排列组合分析有多少种情况。
  根据算术基本定理，把x/G、y/G、z/G写成：
    x/G = $p_1^{i_1}\cdot p_2^{i_2}\cdot p_3^{i_3}$
    y/G = $p_1^{j_1}\cdot p_2^{j_2}\cdot p_3^{j_3}$
    z/G = $p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot p_3^{k_3}$
  式子要满足x/G、y/G、z/G互素的条件。以{$i_1,j_1,k_1$}为例，其中至少有1个应该等于0。
  另外，把L/G写成：
    L/G = $p_1^{t_1}\cdot p_2^{t_2}\cdot p_3^{t_3}$
  式子要满足lcm（x/G，y/G，z/G）= L/G。以{$i_1,j_1,k_1$}为例，允许的情况是：
  1）{0, 0, $t_1$}，有三种排列；
  2）{0, $t_1$, $t_1$}，有三种排列；
  3）{0, $t_1$, 1 ~ $t_1$-1}，有($t_1$-1)*6种排列；
  加起来一共有 $t_1$*6 种排列。
  最后问题转化为求$t_1$、$t_2$、$t_3$，即分解 L/G 的质因子。

6. 习题

  GCD的题目一般和其他知识点结合出题。
  hdu 2104，互素判定
  hdu 3092，GCD+完全背包
  hdu 5970，GCD+循环节
  hdu 5584，LCM问题
  洛谷 P2568 ，GCD + 莫比乌斯反演
  洛谷 P2398，GCD求和
  洛谷 P1890，询问区间内的GCD
  poj 1722，GCD思维题
  poj 2685，GCD+快速幂
  poj 3101，大数GCD
  poj 2429，GCD + Rabin-Miller测试

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1. 最大公约数有多种英文表述：Greatest Common Divisor(GCD)、Greatest Common Denominator、Greatest Common Factor(GCF)、Highest Common Factor (HCF)。 ↩︎

2. 欧几里得《几何原本》是公元前三世纪的著作，中国《九章算术》成于公元一世纪，流行本是三世纪刘徽的注本，都非常古老。“更相减损术”在《九章算术》卷一的“约分”这一节：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”本文给出的代码省去了a、b为偶数的情况，即“可半者半之”。 ↩︎

3. 参考：《算法竞赛入门经典（第2版）》，刘汝佳，清华大学出版社，312页。 ↩︎