网络最大流和最小费用流

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这段时间复习了下网络流模型，感觉比以前的理解有了长足进展，虽然我知道这东西难就难在建模上，而它的算法本身其实难度不大，但我还是决定说一些我的理解，毕竟理解了本质的东西运用起来才会更灵活。


最大流的求解一般有两类算法（用费用流附带求出的不列入考虑范围），就是增广路（FF）系列和预流推进（PF）系列。在很多地方都看到推荐使用后者，因为效率更高，但其实不然，今天我这篇文章就是要重点介绍前者，相信大家看了过后也会喜欢它的。


首先，那些一大堆的关于网络的定义我就不说了，不明白的就先去看看书好了，我们约定S是源，T是汇，G表示残余图。增广路算法其实相当好理解，因为只要在G中存在一条从S到T的通路，那沿这条路走，流量一定还可以增加，所以当求得最大流的时候一定不存在S-T通路。 那反过来成立么？显然，因为我们有最小割最大流定理，所以由此就得到了FF算法的基本方法：

不断的在G中找一条S-T通路，然后沿其增广，直到无法找到。


至于用什么方法去找一条路，那就随便了，BFS，DFS，甚至A*，你可以把你能想到的方法试个遍，看看哪个合胃口就用哪个吧。

注意那个用BFS的方法，它的官方名字叫Edmonds-Karp（EK），它和我们后面要说的费用流有很大的关系，这里先简单提示一下。

那这方法的复杂度呢？如果是整数流（事实上分数流的话可以构造数据让FF无法停止，这时候必须用到PF的方法），显然每次至少增广1的流量，每次查找O(E)条边，增广要O(V)的时间，因此复杂度为O((m+n)*U)，U是最大流。

听上去很恐怖，其实EK算法的一个稍微精确的上界是O(VE^2)，还是很夸张。

那么，怎样才能跑得更快呢？想想，每次用BFS求出的Shortest Path Tree（SPT），我们只关心了S-T最短路，其实还有很多信息没有利用到，那么如果求一次SPT，我们可以增广多次的话，是不是会好些？？

于是，引入层次图的概念，说通俗点，就是求G的SPT，把G中每个顶点的距离S的标号d给求出来，保留所有的s->t中d[s]+1=d[t]的边（注意可以不是SPT中的边），最后再在层次图中用多次BFS把所有的增广路求出来增广。

这样看似更快了，其实没有，因为分析复杂度依然是O(VE^2)，没有改进，而且我们还要写更多的代码。那瓶颈在哪里呢？对了，就是那步在层次图中用BFS来找增广路。其实更好的方法是用DFS，一次就可以把所有的增广路求出来，具体做法如下：

从S开始做DFS，一旦发现一条增广路，于是就沿其增广，然后DFS回退到离S最近的一条满流的边的起点处，并在图中删除该边的终点，继续搜索。

上面的算法就是著名的Dinic算法，它的复杂度为O(EV^2)（注意，看清楚2的位置），对于密图有不小的改进。

事实上，我非常推荐在各类比赛中用Dinic算法，因为它实现简单，而且实际运行速度快，比起PF算法好写太多了！！

那单纯的说好还是不行，要拿出依据来。关于PF算法的理论在本文中就不详细叙述了，可能以后我会专门介绍它。一般的PF实现是O(V^4)的，而Relable-To-Front是O(V^3)，高标推进据称是O(V^2*sqrt(E))，虽然它实际中确实比较快，但是PF的算法都有一个缺点，就是必须加启发优化，至少是Gap优化，否则实际中会比较慢。因此，写一个PF的代码自然就比较多了。


上面基本上把最大流的算法盘点了一下，下面还是说一下最小费用流问题。

如果一个网络的边不仅有容量，还有单位流量费用的话，那我们自然想在求得最大流的同时，使总费用更低。因此，最小费用流实际上是一个更通用的模型，因而其应用也更广。

令人惊奇的是，解决该问题可以不需要先求出最大流来（当然也有方法需要），所以如果你不想记那么多算法的话只知道该算法也没问题。因为费用流的算法如果说复杂的话可以把线性规划扯近来，所以先罗列下几个基本方法，然后介绍最简单的一种，其它的如果你有兴趣可以自己找文章来看：

1、 连续最短路算法（Successive Shortest Path）；

2、 消圈算法（Cycle Canceling）；

3、 原始对偶算法（Primal Dual）；

4、 网络单纯形（Network Simplex）。


后面的两个分别是前面两个的高级优化版本，其基本的优化思路就是和我们上面论述的优化增广类似，就是希望每次都能做几次运算，不要一次用了就丢弃了。最好用的就是第一个方法，方法二在Algorithm in C图论部分有详细论述，我就不说了。

还记得刚才我说的EK么？其实如果我们用Dijkstra在G中找S-T最短路，而不是BFS的话，是不是就解决问题了呢？是的，完全正确，我把证明留给大家想，其实很简单。

但是，有个问题，在G中存在负权的边，用Dijkstra是不是不行了呢？非要用Bellman-Ford么？其实不然，只要原图中没有负环存在（有的话不存在最小费用），那么我们可以利用Johnson算法的重赋权技术把所有的边先变成正权，然后以后每次增广后再维护一下不就可以用高效的Dijkstra了？算法如下：

用Bellman-Ford求各点到S的高度标号d[]；

以后每求一次最短路，设标号为pi[]，那么执行：

For i=1 to v do

d[v]+=pi[v]

这样一来，标号就一直合法了（具体证明还是留给大家吧）。

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网络流ISAP算法的简单介绍

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这几天由于种种原因经常接触到网络流的题目，这一类型的题给人的感觉，就是要非常使劲的YY才能出来点比较正常的模型。尤其是看了Amber最小割应用的文章，里面的题目思路真是充满了绵绵不绝的YD思想。然而比赛中，当你YD到了这一层后，您不得不花比较多的时间去纠结于大量细节的实现，而冗长的代码难免会使敲错版后的调试显得异常悲伤，因此一些巧妙简短高效的网络流算法在此时便显得犹为重要了。本文力求以最简短的描述，对比较流行的网络流算法作一定的总结，并借之向读者强烈推荐一种效率与编程复杂度相适应的算法。

　　众所周知，在网络流的世界里，存在2类截然不同的求解思想，就是比较著名的预流推进与增广路，两者都需要反向边的小技巧。

　　其中预流推进的算法思想是以边为单元进行推流操作。具体流程如下:置初始点邻接边满流并用一次反向bfs对每个结点计算反向距离标号，定义除汇点外存量大于出量的结点为活动结点，每次对活动结点按允许边（u->v:d[u]=d[v]+1）进行推流操作，直到无法推流或者该点存量为0，若u点此时仍为活动结点，则进行重标号，使之等于原图中进行推操作后的邻接结点的最小标号+1，并将u点入队。当队列为空时，算法结束，只有s点和t点存量非0，网络中各顶点无存量，无法找到增广路继续增广，则t点存量为最大流。

　　而增广路的思想在于每次从源点搜索出一条前往汇点的增广路，并改变路上的边权，直到无法再进行增广，此时汇点的增广量即为最大流。两者最后的理论基础依然是增广路定理，而在理论复杂度上预流推进要显得比较优秀。其中的HLPP高标预流推进的理论复杂度已经达到了另人发指的O（sqrt(m)*n*n），但是其编程复杂度也是同样的令人发指- -

　　于是我们能否在编程复杂度和算法复杂度上找到一个平衡呢，答案是肯定的。我们使用增广路的思想，而且必须进行优化。因为原始的增广路算法（例如EK）是非常悲剧的。于是有人注意到了预流推进中的标号法，在增广路算法中引入允许弧概念，每次反搜残留网络得到结点标号，在正向增广中利用递归进行连续增广，于是产生了基于分层图的Dinic算法。一些人更不满足于常规Dinic所带来的提升，进而加入了多路分流增广的概念，即对同一顶点的流量，分多路同时推进，再加上比较复杂的手工递归，使得Dinic已经满足大部分题目的需要。

　　然而这样做就是增广路算法优化的极限么？答案永远是不。人们在Dinic中只类比了预流推进的标号技术，而重标号操作却没有发挥得淋漓尽致。于是人们在Dinic的基础上重新引入了重标号的概念，使得算法无须在每次增广后再进行BFS每个顶点进行距离标号，这种主动标号技术使得修正后算法的速度有了不少提高。但这点提高是不足称道的，人们又发现当某个标号的值没有对应的顶点后，即增广路被截断了，于是算法便可以提前结束，这种启发式的优化称为Gap优化。最后人们结合了连续增广，分层图，多路增广，Gap优化，主动标号等穷凶极恶的优化，更甚者在此之上狂搞个手动递归，于是产生了增广路算法的高效算法–ISAP算法。

　　虽然ISAP算法的理论复杂度仍然不可超越高标预流推进，但其编程复杂度已经简化到发指，如此优化，加上不逊于Dinic的速率（在效率上手工Dinic有时甚至不如递归ISAP），我们没有不选择它的理由。

　　因此本文强烈推荐ISAP作为网络流首选算法。

　　其实现方法见下文，除去例行的添边操作，不超过50行的代码，何乐而不为之，以下实现仍有优化的余地（在计算初始标号时，为减小代码量直接忽略之，其复杂度不变，但实现后效率有5%左右的下降，如果乐意修正的话可以进行改良，当然不修正不影响算法正确性）。