RSA算法使用心得

RSA 算法使用心得

  一、算法基础

1,RSA 算法基础

RSA 算法是非对称算法 , 使用大数分解原理得到,主要过程主要用到费马小定理,详细数学证明见附加信息

 

2,RSA 算法描述

找两素数 p q

n=p*q

t=(p-1)*(q-1)

取任何一个数 e, 要求满足 e 并且 e t 互素(就是最大公因数 1

d*e%t==1   (e * d) % ((p-1)*(q-1))   == 1

 

这样最终得到三个数: n d e

    

设消息为数 M (M

c=(M^d)%n 就得到了加密后的消息 c

m=(c^e)%n m == M ,从而完成对 c 的解密。

注: ^ 表示次方 , 上面两式中的 d e 可以互换。具体过程看证明

3,RSA 算法举例

在非对称加密中:

n d 两个数构成公钥,可以告诉别人;

n e 两个数构成私钥, e 自己保留,不让任何人知道。

给别人发送的信息使用 e 加密,只要别人能用 d 解开就证明信息是由你发送的,构成了签名机制。

别人给你发送信息时使用 d 加密,这样只有拥有 e 的你能够对其解密。

 

rsa 的安全性在于对于一个大数 n ,没有有效的方法能够将其分解

从而在已知 n d 的情况下无法获得 e ;同样在已知 n e 的情况下无法求得 d

 

二、举例 :

       找两个素数 :

p=47

q=59

这样

n=p*q=2773

t=(p-1)*(q-1)=2668

寻找 e 满足 e 并且 e t 互素   找到 e=63

寻找 d 使 e*d%t ==1 得到 d=847

              那么 n=2773              d=847

                       n=2773              e=63

             

              取加密 c 465

              测试 ( 请安装 Active perl )

加密 :

perl -Mbigint -e "print 465**847%2773" 结果为 1118

使用解密结果

       perl -Mbigint -e "print 1118**63%2773" 结果为 465

这里一般在加密过程之中 d=65537

 

三、应用 OpenSSL 库里的 RSA 函数过程

      1 ,加密分组

              使用 RSA 加密的分组长度为

modulusLen = (publicKey->bits + 7) / 8 - 11;

     2 ,数据补偿

              RSA 核心加密算法加密的数据长度为

              modulusLen = (publicKey->bits + 7) / 8;

那么要补偿 11 位的数据 ( 很多算法加密结果不一样的原因大都是由这个原因引起的 )

       其中第 1 2 (为模式)

       以后的 2 10 0xff

      11 位为 0

 

      3 ,核心算法

1 ,大数运算

       大数的加减乘除方法

2, 高阶求模 (m^e mod n)

                     a = (b * c) % d <==> ( (a % d )*( c % d) ) % d

                     可以使用分解成 (b *c) % d

运算次数可以分解为 log(c)

3 ,加密运算

                                   很简单 , 请参看代码

4 ,解密运算

                                     1, 一种方法是与加密过程类似解密 使用解密密钥


附加数学证明

数学原理

命题 :

p, q 是相异质数 , rm == 1 mod (p-1)(q-1),

a 是任意一个正整数 , b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,

c == a mod pq   ( 补充 如果 pq>=a > 0 那么 c==a)

证明的过程 :

证明的过程 , 会用到费马小定理 , 叙述如下 :

m 是任一质数 , n 是任一整数 , n^m == n mod m

注意注释   写法的意思同 ( (n^m) mod m ) = (n mod m ) )

 

( 换另一句话说 , 如果 n m 互质 , n^(m-1) == 1 mod m)

运用一些基本的群论的知识 , 就可以很容易地证出费马小定理的 ........

 

证明

因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数

因为在 modulo 中是 preserve 乘法的

(x == y mod z  and  u == v mod z  =>  xu == yv mod z),

所以 , c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

 

1. 如果 a 不是 p 的倍数 , 也不是 q 的倍数时 ,

   a^(p-1) == 1 mod p ( 费马小定理 )  =>  a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p

      a^(q-1) == 1 mod q ( 费马小定理 )  =>  a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q

   所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1  =>  pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1

   a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq

   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

 

2. 如果 a p 的倍数 , 但不是 q 的倍数时 ,

   a^(q-1) == 1 mod q ( 费马小定理 )

   =>  a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q

   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q

   =>  q | c - a

   p | a

   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p

   =>  p | c - a

   所以 , pq | c - a  =>  c == a mod pq

 

3. 如果 a q 的倍数 , 但不是 p 的倍数时 , 证明同上

 

4. 如果 a 同时是 p q 的倍数时 ,

   pq | a

   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq

   =>  pq | c - a

   =>  c == a mod pq

 

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