RSA_总结

RSA(总结)

签名

$$\begin{gathered} 签名sig(m)=m^d(modn)，将其发个收信方， \\ 他用公钥进行运算可以得到： \\ (sig(m){)}^e=m^{ed}(modn)\equiv m(modn) \end{gathered}$$

但是如果源数据太大，用私钥进行运算花时间很长，所以现在一般会用hash函数进行处理
$$\begin{gathered} 签名sig(m)=hash(m{)}^d(modn)，将其发个收信方， \\ 他用公钥进行运算可以得到： \\ (sig(m){)}^e=hash(m{)}^{ed}(modn)\equiv hash(m)(modn) \end{gathered}$$

攻击方法

选择密文攻击

密码分析者事先任意搜集一定数量的密文，让这些密文透过被攻击的解密算法解密，透过未知的密钥获得解密后的明文。由此能够计算出加密者的私钥或者分解模数，运用这些信息，攻击者可以恢复所有的明文

• 给你解密和加密选择给你被加密的密文
• 给你被加密的密文

分析过程：

用加密算法加密一个较为简单的数，这里我选择的是 x = 2,密文记为r,由RSA原理可知：
$$\begin{gathered} x^e(modn)=r \\ {r}^d(modn)=x \end{gathered}$$
同理，它所给出的密文c和我们需要求的明文m也有下面式子：
$$\begin{gathered} m^e(modn)=c \\ {c}^d(modn)=m \end{gathered}$$
将两个密文相乘,令其等于y：
$$y=r\ast c$$
令u为其明文,由欧拉定理可知：
$$u=y^d(modn)$$
将y带入可得：
$$\begin{gathered} (r\ast c{)}^d(modn)=u \\ {r}^d(modn)\ast c^d(modn)=u \\ x\ast m=u \\ m=u//x \end{gathered}$$
就可以求出明文

基于分解模数的RSA攻击

• yafu

  yafu 基本命令：factor(n)

• factordb

  一个在线分解网站

• n比较小的话，可以选择暴力破解

• sage有专门因式分解的函数

公共因子攻击

一般有两个n值，求出其公共因子

• 如果n1 = pq1,n2 = pq2，可以求出gcd(n1,n2)的公因子

• 识别此类题目，通常会发现题目给了若干个n，均不相同，并且明文都没什么联系，e也一般取65537

  '''
  例子：factor跑不出来，通过求公因子，然后分别求出p,q
  '''
  n1=9051013965404084482870087864821455535159008696042953021965631089095795348830954383127323853272528967729311045179605407693592665683311660581204886571146327720288455874927281128121117323579691204792399913106627543274457036172455814805715668293705603675386878220947722186914112990452722174363713630297685159669328951520891938403452797650685849523658191947411429068829734053745180460758604283051344339641429819373112365211739216160420494167071996438506850526168389386850499796102003625404245645796271690310748804327
  n2=132259483961796038160620464187172147926685124136250915699975243642439959919610188941500592078240938374204513752405503100502093989645063185189916201425759266237804115322572307019858216294257220306087220355706904741712592381539470953103035228319716646660675426490344616217256562348690055012934239751847019297291700772802514362161672930585600300890061402243Q75425679571181787206982712477261432579537981278055755344573767076951793312062480275004564657590263719816033564139497109942073701755011873153205366238585665743
  

低加密指数攻击

特点：m和e都比较小，e一般取3

• $$m^e<n,m=\sqrt[3]{c}$$

• $$\begin{gathered} 有可能稍微大一点，m^e=k\ast n+c,m=\sqrt[e]{c+kn}, \\ 枚举k进行求解 \end{gathered}$$

• 工具：gmpy2

  #gmpy2的应用
  #!usr/env/python3
  import gmpy2
  for k in range(10):
      gmpy2.iroot(c+k*n,e)
  

$$c=m^2(modn)$$

Rabin算法

算是有固定模板，辨别特点，e = 2

这里只关注解密方法,具体看这个https://en.wikipedia.org/wiki/Rabin_cryptosystem

def rabin_decrypt(c, p, q, e=2):
    n = p * q
    mp = pow(c, (p + 1) / 4, p)  #整除 用//
    mq = pow(c, (q + 1) / 4, q)
    yp = gmpy2.invert(p, q)
    yq = gmpy2.invert(q, p)
    r = (yp * p * mq + yq * q * mp) % n
    rr = n - r
    s = (yp * p * mq - yq * q * mp) % n
    ss = n - s
    return (r, rr, s, ss)

工具

gmpy和gmpy2

#gmpy2　在python3中安装：
sudo apt-get install libmpfrc++-dev
sudo apt-get install libmpc-dev
sudo pip3 install gmpy2
#gmpy2　在python2.7中安装：
sudo pip install python-gmpy2
#如果还是不行，请用aptitude

安装不成功的看这个安装教程

（这个里面也有一些重要库的安装过程）有兴趣可以看看这个CTF-rsa-tool

使用教程：https://gmpy2.readthedocs.io/en/latest/mpz.html

分解大整数n

• factordb
• yafu

libnum

是python2.7里面的一个库,安装使用请点击libnum

安装：

git clone https://github.com/hellman/libnum
cd libnum
python setup.py install

我们在RSA中常用函数有：

import libnum
libnum.n2s(n)  	#Number to string
libnum.b2s(b)   #Binary to string
libnum.gcd(num1,num2) #求最大公约数
libnum.lcm(num1,num2) #最小公倍数
libnum.s2n(s)   #string to Number
libnum.s2b(s)	#string to Binar

CTF_RSA_tool

一个集成工具

RSAtools

已知n,e,p,q，可以求出d

pycrypto

一个有着多种解密算法的python库

安装：

deepin:
sudo pip3 install pycrypto

那个链接里面有这个库的各种用法，想用的可以玩一下

openssl

openssl则是SSL的实现版，openssl还包含了公钥私钥的生成、摘要生成等各种工具

linux里面应该是自带的

用法：

#提取公钥信息
openssl rsa -pubin -text -modulus -in [公钥.pem] 
#用私钥进行解密
openssl rsautl -decrypt -in [密文.enc]-inkey [私钥.pem]
#其他命令可以看看openssl文档，点击上面那个openssl

rsatool

另一款强大的rsa解密工具，主要用来生成私钥，具体用法看writeup

rsa

这是一个纯python实现的库，不依赖底层文件，优点是部署容易，缺点是速度比较慢

这里有其他方法

常见题型

已知p、q、e求解d

思路：

由于
$$e\ast d\equiv 1(mod\varphi (n))$$
所以要求ｄ，我们可以先求
$$\varphi (n)=(p-1)\ast (q-1)$$

方法：

#RSA实践
#三种解法
'''
第一种gmpy2解法
mpz:Multiple-precision Integers（多精度型整数）
gmpy2.invert():求模逆 
'''
import gmpy2
p =gmpy2.mpz(473398607161)
q =gmpy2.mpz(4511491)
e =gmpy2.mpz(17)
fn= (p - 1) * (q - 1)
d = gmpy2.invert(e, fn)
print("d is:")
print (d)

'''
直接用扩展欧几里得法
'''
def computeD(fn, e):
    (x, y, r) = ext_euclid(fn, e)
    #y maybe < 0, so convert it
    if y < 0:
        return fn + y
    return y
 
def ext_euclid(a, b):     
    if b == 0:         
        return (1, 0, a)     
    else:         
        x, y, q = ext_euclid(b, a % b) 
        # q = gcd(a, b) = gcd(b, a%b)         
        x, y = y, (x - (a // b) * y)  # ‘//’代表整除 ，可以用python演示一下.    
        return (x, y, q)
    
p = 473398607161
q = 4511491
e = 17

n = p * q
print("n："+str(n))
fn = (p - 1) * (q - 1)
print("f(n):"+str(fn))
d = computeD(fn, e)
print(d)

'''
用工具解密——RSAtools
ps:用这个工具记得将e转化为hex形式
'''

已知c、n、e求解明文/已知ｃ,q,p,e

$$\begin{gathered} 根据上述分解大数工具，我们可以求出ｐ,q \\ 利用\varphi (n)=(p-1)\ast (q-1)求出\varphi (n) \\ 之后求出私钥信息ｄ，原理同上， \\ 利用m\equiv c^d(modn）求出ｍ \end{gathered}$$