一文打尽目标检测NMS——效率提升篇

在笔者上一篇文章《一文打尽目标检测NMS——精度提升篇》中，总结了近几年出现的一些可以提升NMS精度的方法。可以看到，NMS由于顺序处理的原因，运算效率较为低下。在笔者的实际项目中，NMS往往能占模型计算总时间的40%甚至更多，极大影响了模型的效率。经过笔者一段时间的调研，关于提升NMS运算速度的方法，在这里也将结合代码进行阶段性总结。

所参考的代码库列举如下：

1. Faster RCNN pytorch (rbg大神) 的 CUDA NMS
2. YOLACT团队提出的Fast NMS
3. CIoU团队提出的Cluster NMS
4. SOLOv2团队提出的Matrix NMS
5. Torchvision封装的免编译CUDA NMS

加速的关键

在进入正题之前，首先我们应该考察一下NMS运算效率的瓶颈在哪？答案自然是IoU计算及顺序迭代抑制。

假如一张图片中有 $n$ 个检测框，由于顺序处理的原因，某一个框与其他框计算IoU，最少一次，最多有 $n-1$ 次。再加上顺序迭代抑制，NMS算法在计算IoU方面，共需要计算IoU至少$n-1$ 次，最多 $(n-1)+(n-2)+\cdots +1=\frac{1}{2}{n}^2-\frac{n}{2}$次。

因此，要想加速NMS，首当其冲应该要将IoU的计算并行化。这个操作在我们使用IoU-based loss的时候就有，只需计算检测框集合 $B=\{B_i{\}}_{i=1ton}$ 与自身的IoU即可。检测框集合 $B$ 事先会按照得分降序排列，也就是说 $B_1$ 是最高得分框， $B_n$ 是最低得分框。得到如下这个IoU矩阵：

$X=IoU(B,B)=\left(\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1n}\\ x_{21}& x_{22}& \cdots & x_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n1}& x_{n2}& \cdots & x_{nn}\end{array}\right),x_{ij}=IoU(B_i,B_j)$

得益于GPU的并行计算，我们可以一次性得到IoU的全部计算结果。这一步就已经极大地解决了IoU计算繁琐又耗时的问题。代码如下：

def box_iou(boxes1, boxes2):
    # https://github.com/pytorch/vision/blob/master/torchvision/ops/boxes.py
    """
    Return intersection-over-union (Jaccard index) of boxes.
    Both sets of boxes are expected to be in (x1, y1, x2, y2) format.
    Arguments:
        boxes1 (Tensor[N, 4])
        boxes2 (Tensor[M, 4])
    Returns:
        iou (Tensor[N, M]): the NxM matrix containing the pairwise
            IoU values for every element in boxes1 and boxes2
    """

    def box_area(box):
        # box = 4xn
        return (box[2] - box[0]) * (box[3] - box[1])

    area1 = box_area(boxes1.t())
    area2 = box_area(boxes2.t())

    lt = torch.max(boxes1[:, None, :2], boxes2[:, :2])  # [N,M,2]
    rb = torch.min(boxes1[:, None, 2:], boxes2[:, 2:])  # [N,M,2]

    inter = (rb - lt).clamp(min=0).prod(2)  # [N,M]
    return inter / (area1[:, None] + area2 - inter)  # iou = inter / (area1 + area2 - inter)

到这里为止，以上列出的5种NMS都可以做到，从速度上来说CUDA NMS和torchvision NMS相对底层，编译后使用，速度稍快，但必然损失了一些灵活度，后面会讲。(关于CUDA NMS的教程，有兴趣的小伙伴可以参考faster-rcnn源码阅读：nms的CUDA编程，非常详实。

在有了IoU矩阵之后，接下来就是应该要如何利用它来抑制冗余框。

IoU矩阵的妙用

以下列举的三篇文献，可谓是将IoU矩阵玩出了花，从不同的角度发扬光大，在NMS加速方面也确实走在正轨上。(所用的一些符号，笔者进行了统一)

Fast NMS

Fast NMS是《YOLACT: Real-time Instance Segmentation》一文的其中一个创新点。由于IoU的对称性，即 $IoU(B_i,B_j)=IoU(B_j,B_i)$ ，看出 $X$ 是一个对称矩阵。再加上一个框自己与自己算IoU也是无意义的，因此Fast NMS首先对 $X$ 使用pytorch的triu函数进行上三角化，得到了一个对角线元素及下三角元素都为0的IoU矩阵 $X$ 。

$X=\left(\begin{array}{ccccc}0& x_{12}& x_{13}& \cdots & x_{1n}\\ 0& 0& x_{23}& \cdots & x_{2n}\\ 0& 0& 0& \cdots & x_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)$

接着对 $X$ 执行按列取最大值操作，得到一维张量 $b=[b_1,b_2,\cdots ,b_n]$， $b_i$ 代表了 $X$ 的第 $i$ 列上元素的最大值。最后使用NMS阈值，论文取0.5，对 $b$ 二值化。 $b$ 中元素小于NMS阈值的是保留的框，≥NMS阈值的是冗余框。例如

$\begin{array}{cc}& 10100\\ & \uparrow NMS阈值二值化\\ b=& 00.60.20.720.8\\ & \uparrow 列最大值\\ X=& \left(\begin{array}{ccccc}0& 0.6& 0.1& 0.3& 0.8\\ & 0& 0.2& 0.72& 0.1\\ & & 0& 0.45& 0.12\\ & & & 0& 0.28\\ & & & & 0\end{array}\right)\end{array}$

1代表保留，0代表抑制。

代码如下：

def fast_nms(self, boxes, scores, NMS_threshold:float=0.5):
    '''
    Arguments:
        boxes (Tensor[N, 4])
        scores (Tensor[N, 1])
    Returns:
        Fast NMS results
    '''
    scores, idx = scores.sort(1, descending=True)
    boxes = boxes[idx]   # 对框按得分降序排列
    iou = box_iou(boxes, boxes)  # IoU矩阵
    iou.triu_(diagonal=1)  # 上三角化
    keep = iou.max(dim=0)[0] < NMS_threshold  # 列最大值向量，二值化

    return boxes[keep], scores[keep]

优点：

1. 速度比cython编译加速的Traditional NMS快。(上表截自https://github.com/Zzh-tju/CIoU)
2. 可支持与其他提升精度的NMS方法结合。

缺点：

1. Fast NMS会比Traditional NMS抑制更多的框，导致性能略微下降。
2. 比CUDA NMS慢，约0.2ms。

这里有必要解释一下，为什么Fast NMS会抑制更多的框？

我们知道NMS的思想是：当一个框是冗余框，被抑制后，将不会对其他框产生任何影响。但在Fast NMS中，如果一个框 $B_i$ 的得分比 $B_j$ 高，且 $B_i$ 被抑制了，矩阵 $X$ 的第 $i$ 行正是 $B_i$ 与得分低于它的所有框的IoU，如果 $x_{ij}$ 这个元素≥NMS阈值的话，那么在取列最大值这个操作时， $b$ 的第 $j$ 个元素必然≥NMS阈值，于是很不幸地 $B_j$ 就被抑制掉了。

也就是在刚刚的例子中，由于第二个框 $B_2$ 被抑制，那么第二行第四列的 $0.72$ 就不应该存在，可是Fast NMS允许冗余框去抑制其他框，导致了第四个框 $B_4$ 被错误地抑制了。

$\begin{array}{cc}& 10100\\ & \uparrow NMS阈值二值化\\ b=& 00.60.20.720.8\\ & \uparrow 列最大值\\ X=& \left(\begin{array}{ccccc}0& 0.6& 0.1& 0.3& 0.8\\ & 0& 0.2& 0.72& 0.1\\ & & 0& 0.45& 0.12\\ & & & 0& 0.28\\ & & & & 0\end{array}\right)\end{array}$

不过呢，由于YOLACT主要针对的是实例分割，mask是从box中裁剪出来的，Fast NMS对mask AP的下降比较轻微，约0.1~0.3的AP，但似乎对目标检测的box AP会下降更多。

Cluster NMS

Cluster NMS出自《Enhancing Geometric Factors in Model Learning and Inference for Object Detection and Instance Segmentation》一文。研究者主要旨在弥补Fast NMS的性能下降，期望也利用pytorch的GPU矩阵运算进行NMS，但同时又使得性能保持与Traditional NMS相同。

最开始看到这个名字时，笔者还以为是采取聚类的NMS，这不禁让人想起了今年2月的FeatureNMS。但后来仔细看了过后，发现这里的cluster的含义不一样。

以上是论文的原话，意思是说，cluster是一个框集合，若某一个框A属于这个cluster，则必有cluster中的框与A的IoU≥NMS阈值，且A不会与除这个cluster之外的框有IoU≥NMS阈值。举个简单的例子：

上图中的黑红蓝橙四个框构成一个cluster，而绿色的两个框构成一个cluster，虽然两个cluster之间有相交，但都没有超过NMS阈值，于是这两个框集合不能合并成一个cluster。

然后我们看一下Cluster NMS是怎么做的？

其实就是一个迭代式的Fast NMS。前面的过程与Fast NMS一模一样，都是 $B$ 按得分降序排列，计算IoU矩阵，上三角化。然后按列取最大值，经过NMS阈值二值化得到一维张量 $b$ 。但不同于Fast NMS直接输出了 $b$ ，Cluster NMS而是利用 $b$ ，将它展开成一个对角矩阵 $E$ 。也就是这个对角矩阵 $E$ 的对角线元素与 $b$ 相同。然后用 $E$ 去左乘IoU矩阵 $X$ 。然后再按列取最大值，NMS阈值二值化得到一个新的一维张量 $b$，再展开成一个新的对角矩阵 $E$，继续左乘IoU矩阵 $X$ 。直到出现某两次迭代后， $b$ 保持不变了，那么谁该保留谁该抑制也就确定了。

这里借用一下作者在github的流程图。

以笔者的角度看，这种利用矩阵左乘的方式，其实就是在省略上一次Fast NMS迭代中被抑制的框对其他框的影响。

因为我们知道一个对角矩阵左乘一个矩阵，就是在做行变换啊，对应行是1，乘完的结果这一行保持不变，如果对应行是0，乘完的结果就是把这一行全部变成0。而 $b$ 中某个元素若是0，就代表这个位置是冗余框，于是乘完之后，这个冗余框在下一次的迭代中就不再对其他框产生影响。为什么这里要强调下一次迭代？是因为这个迭代过程 $b$ 会不断发生变动！可能某个框这会儿是冗余框，到了下一次迭代又变成了保留框。但是但是！到了最终 (其实未必是迭代满n次)， $b$ 就保持不变了！你说奇怪不？这里论文还给出了一个命题，说Cluster NMS的输出结果与Traditional NMS的结果一模一样。

论文里还给出了对这个命题的证明，又是数学数学数学！大致一看是利用数学归纳法证的，感兴趣的可以去看论文，这里请允许我跳过。

def cluster_nms(self, boxes, scores, NMS_threshold:float=0.5):
    '''
    Arguments:
        boxes (Tensor[N, 4])
        scores (Tensor[N, 1])
    Returns:
        Fast NMS results
    '''
    scores, idx = scores.sort(1, descending=True)
    boxes = boxes[idx]   # 对框按得分降序排列
    iou = box_iou(boxes, boxes).triu_(diagonal=1)  # IoU矩阵，上三角化
    C = iou
    for i in range(200):    
        A=C
        maxA = A.max(dim=0)[0]   # 列最大值向量
        E = (maxA < NMS_threshold).float().unsqueeze(1).expand_as(A)   # 对角矩阵E的替代
        C = iou.mul(E)     # 按元素相乘
        if A.equal(C)==True:     # 终止条件
            break
    keep = maxA < NMS_threshold  # 列最大值向量，二值化

    return boxes[keep], scores[keep]

好了，至此Cluster NMS算是完成了对Fast NMS性能下降的弥补。我们直接看结果好了

嗯，效果还是可以的，保持了AP与AR一样，运算效率比Fast NMS下降了一些，毕竟是迭代Fast NMS的操作，但也比Traditional NMS快多了。

以为这样就完了？接下来才是重头戏！

这里又分为两个部分，一个是实用上的，另一个是理论上的。先说一下实用上的。

之前说过基于pytorch的NMS方法灵活度要比CUDA NMS更高，就在于这些基于pytorch的NMS是高层语言编写，专为研究人员开发，矩阵运算清晰简洁，于是乎可以很方便地与一些能够提升精度的NMS方法结合！正所谓强强联合，于是就诞生出了又快又好的一系列Cluster NMS的变体。

论文里主要举了三种变体：

1. 得分惩罚机制SPM（Score Penalty Mechanism）
   $s_j=s_j\prod _i{e}^{-\frac{C_{ij}^2}{\sigma }}$
   也就是对刚刚Cluster NMS终止后的矩阵 $C=E\times X$ ，先做一个Soft-NMS里gaussian版的变换，然后将每一列上的元素连乘作为惩罚得分的系数。不过论文提到，虽然是叫得分惩罚机制，但又与Soft-NMS不同，因为这里的SPM不改变框的次序，再加上矩阵 $C$ 是一个上三角矩阵的缘故，所以每个框都只会被得分高于它的框惩罚，并且这里已经排除了高得分的冗余框对它的惩罚。而Soft-NMS每次迭代惩罚得分后，需要重新按得分降序排列，所以框的次序会不断变动。

def SPM_cluster_nms(self, boxes, scores, NMS_threshold:float=0.5):
    '''
    Arguments:
        boxes (Tensor[N, 4])
        scores (Tensor[N, 1])
    Returns:
        Fast NMS results
    '''
    scores, idx = scores.sort(1, descending=True)
    boxes = boxes[idx]   # 对框按得分降序排列
    iou = box_iou(boxes, boxes).triu_(diagonal=1)  # IoU矩阵，上三角化
    C = iou
    for i in range(200):    
        A=C
        maxA = A.max(dim=0)[0]   # 列最大值向量
        E = (maxA < NMS_threshold).float().unsqueeze(1).expand_as(A)   # 对角矩阵E的替代
        C = iou.mul(E)     # 按元素相乘
        if A.equal(C)==True:     # 终止条件
            break
    scores = torch.prod(torch.exp(-C**2/0.2),0)*scores    #惩罚得分
    keep = scores > 0.01    #得分阈值筛选
    return boxes[keep], scores[keep]

2. +中心点距离

说到底DIoU就是该团队提出来的，那怎能不用上中心点距离呢？于是论文在两个方面添加了中心点距离。一个是IoU矩阵直接变成DIoU矩阵，由于DIoU也是满足尺度不变性的，所以完全没问题，相距很远的框之间的DIoU会变成负数，不过不影响过程。第二个是基于上面的SPM，公式如下：

$s_j=s_j\prod _i\min \{e^{-\frac{C_{ij}^2}{\sigma }}+D^{\beta },1\}$

这里多添了一个 $D$ 也就是DIoU loss的惩罚项，两框中心点距离²/最小包围矩形对角线长度²。 $\beta$ 用于控制中心点距离惩罚的幅度。然后又与1相比较，取最小值，以避免惩罚因子大于1。

加了这两个变体之后，AP与AR得到了明显的改善，速度也是略微下降，很香

3. 加权平均法Weighted NMS

也是利用矩阵 $C$ ，先与得分张量 $S=[s_1,s_2,\cdots ,s_n]$ 按列相乘得到 $C^{\prime }$ ，随后

$B=C^{\prime }\times B$

就可以更新框的坐标了。

在YOLOv3上的效果有了不错的改进，虽然速度不及torchvision NMS，增加了5ms的运算成本，但结合Weighted NMS与DIoU，可以提升精度 (最后一行)。

def Weighted_cluster_nms(self, boxes, scores, NMS_threshold:float=0.5):
    '''
    Arguments:
        boxes (Tensor[N, 4])
        scores (Tensor[N, 1])
    Returns:
        Fast NMS results
    '''
    scores, idx = scores.sort(1, descending=True)
    boxes = boxes[idx]   # 对框按得分降序排列
    iou = box_iou(boxes, boxes).triu_(diagonal=1)  # IoU矩阵，上三角化
    C = iou
    for i in range(200):    
        A=C
        maxA = A.max(dim=0)[0]   # 列最大值向量
        E = (maxA < NMS_threshold).float().unsqueeze(1).expand_as(A)   # 对角矩阵E的替代
        C = iou.mul(E)     # 按元素相乘
        if A.equal(C)==True:     # 终止条件
            break
    keep = maxA < NMS_threshold  # 列最大值向量，二值化
    weights = (C*(C>0.8).float() + torch.eye(n).cuda()) * (scores.reshape((1,n)))
    xx1 = boxes[:,0].expand(n,n)
    yy1 = boxes[:,1].expand(n,n)
    xx2 = boxes[:,2].expand(n,n)
    yy2 = boxes[:,3].expand(n,n)

    weightsum=weights.sum(dim=1)         # 坐标加权平均
    xx1 = (xx1*weights).sum(dim=1)/(weightsum)
    yy1 = (yy1*weights).sum(dim=1)/(weightsum)
    xx2 = (xx2*weights).sum(dim=1)/(weightsum)
    yy2 = (yy2*weights).sum(dim=1)/(weightsum)
    boxes = torch.stack([xx1, yy1, xx2, yy2], 1)
    return boxes[keep], scores[keep]

接下来说一下Cluster NMS理论上的好处。

Cluster NMS的迭代次数通常少于Traditional NMS的迭代次数。

这一优点，从理论上给了它使用CUDA编程更进一步加速的可能。大致意思是说，平常我们在做NMS时，迭代都是顺序处理每一个cluster的。在Traditional NMS中，虽然不同的cluster之间本应毫无关系，但计算IoU重复计算了属于不同cluster之间的框，顺序迭代抑制的迭代次数也仍然保持不变。

但在Cluster NMS中，使用这种行变换的方式，就可以将本应在所有cluster上迭代，化简为只需在一个拥有框数量最多的cluster上迭代就够了(妙啊)。不同的cluster间享有相同的矩阵操作，且它们互不影响。这导致迭代次数最多不超过一张图中最大cluster所拥有的框的个数。也就是下面这种情形

上图中共有10个检测框，分成了3个cluster，它的IoU矩阵(被NMS阈值二值化了)在右边。Cluster NMS做迭代的次数最多不超过4次，因为上图中框数量最多的那个cluster(红色)一共只有4个框。而实际上这张图使用Cluster NMS，只需迭代2轮便结束了。

因此这带来的好处是时间复杂度的下降。特别是对于一张图中有很多个cluster时，效果更为显著。比如这种情形，密密麻麻的狗狗

物体数量越多，到时候的检测框也就越多，形成的cluster必然也会增多，于是乎Cluster NMS这种对所有cluster并行处理的算法必然迭代次数非常少，不会随着物体的增多而过分地增加迭代轮数。最极端的情形是 $n$ 个物体形成 $n$ 个cluster，Traditional NMS需要迭代 $⩾n$ 次，而Cluster NMS不与cluster数量有关，只与需要迭代次数最多的那一个cluster有关。这也是为什么文中说，有可能可以被进一步使用工程技巧加速的原因，比如底层CUDA实现。

优点：

1. Cluster NMS可以保持与Traditional NMS一样的精度，速度快于Cython编译的Traditional NMS。
2. 可以结合一些提升精度的方法，比如得分惩罚法，加权平均法，+中心点距离法。
3. 并行处理cluster，给了算法迭代次数一个上界 (最大cluster的框数量)。

缺点：

1. 速度上，各种变体Cluster NMS < Cluster NMS < Fast NMS < CUDA NMS

Matrix NMS

Matrix NMS出自《SOLOv2: Dynamic, Faster and Stronger》，也是利用排序过后的上三角化的IoU矩阵。不同在于它针对的是mask IoU。我们知道mask IoU的计算会比box IoU计算更耗时一些，特别是在Traditional NMS中，会加剧运算开销。因此Matrix NMS将mask IoU并行化是它最大的一个贡献。然后论文同样采取了得分惩罚机制来抑制冗余mask。具体代码如下：

不过笔者在实现这个代码时遇到了问题，惩罚因子decay通常会≥1，在考虑一个mask $B_j$ 的惩罚因子decay时，与两个东西有关，一个是所有得分高于它的mask与 $Bj$ 的IoU，该IoU越大，惩罚应该更多(也就是上图中decay的分子)；另一个是所有得分高于 $B_j$ 的mask $B_i$ 被抑制的概率(也就是上图中decay的分母)，这是由 $B_i$ 所处的这一列的最大IoU决定，越大则 $B_i$ 越可能是冗余mask，就应该降低对 $B_j$ 的惩罚力度。

随后decay取列最小值。但依据如上代码，decay通常会≥1，这会增大mask的得分，而代码又以0.05作为score筛选的阈值，说明应该是减少得分的思想没有错，这个矛盾导致得出的结果奇差无比。如有任何人知道Matrix NMS出现这种问题的原因，还请告知我问题在哪。

这里直接贴出论文结果，从这里似乎也看出了相比于Soft-NMS每次迭代重排序的做法，直接得分惩罚也是可取的。

优点：

1. 实现了mask IoU的并行计算，对于box-free的密集预测实例分割模型很有使用价值。
2. 与Fast NMS一样，只需一次迭代。

缺点：

1. 与Fast NMS一样，直接从上三角IoU矩阵出发，可能造成过多抑制。

总结：

1. CUDA NMS与Torchvision NMS稍快于以上三种基于pytorch实现的NMS，但比较死板，改动不易。
2. Cluster NMS基本可以取代Fast NMS，且与其他提升精度的方法的有机结合，使它又快又好。(目前作者团队的代码库只提供了得分惩罚法，+中心点距离，加权平均法三种。)
3. Matrix NMS也可以参考Cluster NMS的方式先得到一个与Traditional NMS一样的结果后，再进行后续处理。
4. 三种基于pytorch的NMS方法，只依赖于矩阵操作，无需编译。
5. 将2D检测的NMS加速方法推广至3D检测，应该也是很有价值的。

参考文献

• YOLACT: Real-time Instance Segmentation. ICCV 2019

• Enhancing Geometric Factors in Model Learning and Inference for Object Detection and Instance Segmentation. Arxiv 2020.05

• SOLOv2: Dynamic, Faster and Stronger. Arxiv 2020.03

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