代码效率优化方法论

复杂度：如何衡量程序运行的效率

• 复杂度是什么
  • 复杂度是衡量代码运行效率的重要的度量因素。在介绍复杂度之前，有必要先看一下复杂度和计算机实际任务处理效率的关系，从而了解降低复杂度的必要性。
  • 计算机通过一个个程序去执行计算任务，也就是对输入数据进行加工处理，并最终得到结果的过程。每个程序都是由代码构成的
• 怎么衡量复杂度
  • 实际衡量时，我们通常会围绕以下2 个维度进行。首先，这段代码消耗的资源是什么。一般而言，代码执行过程中会消耗计算时间和计算空间，那需要衡量的就是时间复杂度和空间复杂度。
  • 例子：某个十字路口没有建立立交桥时，所有车辆通过红绿灯分批次行驶通过。当大量汽车同时过路口的时候，就会分别消耗大家的时间。但建了立交桥之后，所有车辆都可以同时通过了，因为立交桥的存在，等于是消耗了空间资源，来换取了时间资源。
    
• 这段代码对于资源的消耗是多少
  • 我们不会关注这段代码对于资源消耗的绝对量，因为不管是时间还是空间，它们的消耗程度都与输入的数据量高度相关，输入数据少时消耗自然就少。为了更客观地衡量消耗程度，我们通常会关注时间或者空间消耗量与输入数据量之间的关系。
• 复杂度是一个关于输入数据量 n 的函数
  • 假设你的代码复杂度是 f(n)，那么就用个大写字母 O 和括号，把 f(n) 括起来就可以了，即 O(f(n))。例如，O(n) 表示的是，复杂度与计算实例的个数 n 线性相关；O(logn) 表示的是，复杂度与计算实例的个数 n 对数相关。
• 线型相关解释：在向量空间V的一组向量A: ，如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使
  
  则称向量组A是线性相关的 ，否则数 k1, k2, ···,km全为0时，称它是线性无关。
  由此定义看出 是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。
  即是看这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而 线性相关。
• 对数：如果a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=log_a N。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数
• 时间复杂度与代码结构的关系
  • 一个顺序结构的代码，时间复杂度是 O(1)。
  • 二分查找，或者更通用地说是采用分而治之的二分策略，时间复杂
  • 度都是 O(logn)。这个我们会在后续课程讲到。
  • 一个简单的 for 循环，时间复杂度是 O(n)。
  • 两个顺序执行的 for 循环，时间复杂度是 O(n)+O(n)=O(2n)，其实也是 O(n)。
  • 两个嵌套的 for 循环，时间复杂度是 O(n²)。

复杂度通常包括时间复杂度和空间复杂度。在具体计算复杂度时需要注意以下几点。

它与具体的常系数无关，O(n) 和 O(2n) 表示的是同样的复杂度。
复杂度相加的时候，选择高者作为结果，也就是说 O(n²)+O(n) 和 O(n²) 表示的是同样的复杂度。
O(1) 也是表示一个特殊复杂度，即任务与算例个数 n 无关。
复杂度细分为时间复杂度和空间复杂度，其中时间复杂度与代码的结构设计高度相关；空间复杂度与代码中数据结构的选择高度相关。会计算一段代码的时间复杂度和空间复杂度，是工程师的基本功。

数据结构：将“昂贵”的时间复杂度转换成“廉价”的空间复杂度

• 第一步，暴力解法。在没有任何时间、空间约束下，完成代码任务的开发。
• 第二步，无效操作处理。将代码中的无效计算、无效存储剔除，降低时间或空间复杂度。
• 第三步，时空转换。设计合理数据结构，完成时间复杂度向空间复杂度的转移。