这个概念很容易混淆,此处通过一个案例以表格的形式来展示:
假设 | 单边检验 | 双边检验 |
---|---|---|
原假设 | 药物无效 | 药物无效 |
备择假设 | 药物有负面作用 | 药物有效 |
在学习之前,我曾经以为原假设与备择假设之间一定是对立的关系,学习之后我发现其实两者不一定是对立关系,但一定是互斥关系。参考茆诗松的概率论与数理统计一书中假设检验的定义:
理清原假设与备择假设的关系之后,我们可以发现单侧检验与双侧检验之间的区别。以图示为例,单侧检验的备择假设应该是命题1或命题2,而双侧检验的备择假设应该是命题3
先列出几个前提条件:
等式成立的证明可以用期望的基本计算公式证得。
若 X 与 Y X与Y X与Y 之间相互独立,则 σ Z 2 = σ X 2 + σ Y 2 \sigma_{Z}^{2} = \sigma_{X}^{2} + \sigma_{Y}^{2} σZ2=σX2+σY2,证明如下:
∵ σ X 2 = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 , \because \sigma_{X}^{2} = E(X^{2}) - E(X)^{2}, ∵σX2=E(X2)−E(X)2, σ Y 2 = E ( Y 2 ) − E ( Y ) 2 , \sigma_{Y}^{2} = E(Y^{2}) - E(Y)^{2}, σY2=E(Y2)−E(Y)2,
C o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) , Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y), Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y),
∴ σ Z 2 = E [ ( X + Y ) 2 ] − [ E ( X + Y ) ] 2 \therefore \sigma_{Z}^{2} = E[(X+Y)^{2}] - [E(X+Y)]^{2} ∴σZ2=E[(X+Y)2]−[E(X+Y)]2
= E ( X 2 + Y 2 + 2 X Y ) − [ E ( X ) + E ( Y ) ] 2 = E(X^{2} + Y^{2} + 2XY) - [E(X) + E(Y)]^{2} =E(X2+Y2+2XY)−[E(X)+E(Y)]2
= E ( X 2 + Y 2 + 2 X Y ) − E ( X ) 2 − E ( Y ) 2 − 2 E ( X ) E ( Y ) = E(X^{2} + Y^{2} + 2XY) - E(X)^{2} -E(Y)^{2} - 2E(X)E(Y) =E(X2+Y2+2XY)−E(X)2−E(Y)2−2E(X)E(Y)
= E ( X 2 ) + E ( Y 2 ) − E ( X ) 2 − E ( Y ) 2 + 2 [ E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) ] = E(X^{2}) + E(Y^{2}) - E(X)^{2} -E(Y)^{2} + 2[E(XY)-E(X)E(Y)] =E(X2)+E(Y2)−E(X)2−E(Y)2+2[E(XY)−E(X)E(Y)]
= σ X 2 + σ Y 2 + 2 C o v ( X , Y ) = \sigma_{X}^{2} + \sigma_{Y}^{2} + 2Cov(X,Y) =σX2+σY2+2Cov(X,Y)
其中 C o v ( X , Y ) Cov(X,Y) Cov(X,Y)是随机变量 X X X和 Y Y Y的协方差,若 X X X和 Y Y Y相互独立,则协方差为0,得证。当 Z = X − Y Z = X-Y Z=X−Y时同理,也可得出相同结论
由上面得出的结论可以推断出:
μ X ‾ − Y ‾ = μ X ‾ − μ Y ‾ \mu _{ \overline{X} - \overline{Y}} = \mu_{\overline{X}} - \mu_{\overline{Y}} μX−Y=μX−μY
σ X ‾ − Y ‾ 2 = σ X ‾ 2 + σ Y ‾ 2 \sigma_{\overline{X} - \overline{Y}}^{2} = \sigma_{\overline{X}}^{2} + \sigma_{\overline{Y}}^{2} σX−Y2=σX2+σY2
流程同单变量均值的假设检验,仅在构造统计量时产生差异