MIT 线性代数导论 第十八讲：行列式及其性质

从这一讲开始新的章节。这一讲主要是一些基础概念性质，所以比较简单。

本讲的主要内容：

• 行列式的概念
• 行列式的重要性质

行列式的概念以及基本的三个性质

行列式是由方阵 $A$ 确定的一个标量，记作 $deta$ 或者 $|A|$， 可以看作是面积或者体积向高维空间的拓展。这里要注意的概念是我们一般意义上的考虑都是考虑方阵的行列式
行列式的三个基本性质：

• 1 $detI=1$ 也就是单位矩阵的行列式值等于1（其实是对角线的数值的乘积）
• 2 交换矩阵的两行，行列式的值会改变符号，所以由这个性质可以得出，任意的一个置换矩阵，它的行列式值是0或者1
• 3.1关于提取行列式中某一行的公因数的操作： $\left|\begin{array}{cc}ta& tb\\ c& d\end{array}\right|=t\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$
• 3.2 关于拆分行列式：$\left|\begin{array}{cc}a+a{}^{\prime }& b+b{}^{\prime }\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a{}^{\prime }& b{}^{\prime }\\ c& d\end{array}\right|$

上面的三个性质作为行列式的最重要的三个性质，后边的结论都可以有这三条推出。

重要推论

• 如果方阵的某两行一样，则行列式值为0，可以使用性质2推出
• 将某一行的乘以某个数加到另一行上，行列式的值不会变，比如：$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c-la& d-lb\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a& b\\ -la& -lb\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$
• 如果方阵中有某一行全为0，则行列式的值为0
• 关于上三角矩阵的行列式：$U=\left|\begin{array}{cccc}{d}_1& \ast & \ast & \ast \\ 0& d_2& \ast & \ast \\ ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& 0& d_n\end{array}\right|\Rightarrow detU=d_1{d}_2...d_n$ 这里可以继续进行消元直到化简为和行最简形，这一条也是我们计算行列式的重要方法，实际上，在很多计算软件中，都是先进性消元过程将矩阵转化为上三角矩阵，然后再进行计算。
• 如果行列式的值为0，则矩阵是奇异矩阵，也就是矩阵没有逆。
• $detAB=(detA)(detB)$
• $det{A}^{-1}=\frac{1}{detA}$ 、$det{A}^2=(detA{)}^2$
• $det2A=2^{n}detA$ 这三条都可以通过矩阵乘积的行列式分解得出
• $det{A}^T=detA$ 这一条结论可以先将方阵进行LU分解，那么得到的是矩阵等于下三角矩阵乘上三角矩阵的形式，在这种形式下，行列式的值会比较好计算，结论就会很明显。

这一讲的这些性质会在之后的计算中用到。

以上~