线性代数 1.2 矩阵的行列式

行列式

  一个$n$阶行列式，如果其中第$i$行所有元素除$(i,j)$元$a_{ij}$外都为零，那么这个行列式等于$a_{ij}$与它的代数余子式的乘积，即$\mathbf{D}=a_{ij}{\mathbf{A}}_{ij}$.
证明 将行列式
$$\mathbf{D}=\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{ij}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & a_{ij}& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$的数$a_{ij}$分别经过行、列变换，调换到$(1,1)$元的位置，得
$${\mathbf{D}}_1=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & 0\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,$$有${\mathbf{D}}_1=(-1{)}^{i+j-2}\mathbf{D}=(-1{)}^{i+j}\mathbf{D}$,而${\mathbf{D}}_1$中$(1,1)$元的余子式就是$\mathbf{D}$中$(i,j)$元的余子式${\mathbf{M}}_{ij}$.
由于${\mathbf{D}}_1$的$(1,1)$元为$a_{ij}$,第$1$行其余元素都为$0$,有
$${\mathbf{D}}_1=a_{ij}{\mathbf{M}}_{ij},$$

于是$$\mathbf{D}=(-1{)}^{i+j}{\mathbf{D}}_1=(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}{\mathbf{M}}_{ij}=a_{ij}{\mathbf{A}}_{ij}.$$

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  行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即$$\mathbf{D}=a_{i1}{\mathbf{A}}_{i1}+a_{i2}{\mathbf{A}}_{i2}+...+a_{in}{\mathbf{A}}_{in}(i=1,2,...,n),$$

或$$\mathbf{D}=a_{1j}{\mathbf{A}}_{1j}+a_{2j}{\mathbf{A}}_{2j}+...+a_{nj}{\mathbf{A}}_{nj}(j=1,2,...,n).$$

证明
$$\begin{array}{rl}\mathbf{D}& =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+0+...+0& 0+a_{i2}+...+0& \cdots & 0+...+0+a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& a_{i2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\\ & +...+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\\ & =a_{i1}{\mathbf{A}}_{i1}+a_{i2}{\mathbf{A}}_{i2}+...+a_{in}{\mathbf{A}}_{in}.\end{array}$$

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  行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
$$a_{i1}{\mathbf{A}}_{j1}+a_{i2}{\mathbf{A}}_{j2}+...+a_{in}{\mathbf{A}}_{jn}=0,i\ne j$$

或$$a_{1i}{\mathbf{A}}_{1j}+a_{2i}{\mathbf{A}}_{2j}+...+a_{ni}{\mathbf{A}}_{nj}=0,i\ne j.$$

证明 把行列式$\mathbf{D}=det(a_{ij})$按第$j$行展开,有
$$a_{j1}{\mathbf{A}}_{j1}+a_{j2}{\mathbf{A}}_{j2}+...+a_{jn}{\mathbf{A}}_{jn}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{j1}& \cdots & a_{jn}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|,$$

把第$j$行替换成第$i$行，得
$$a_{i1}{\mathbf{A}}_{j1}+a_{i2}{\mathbf{A}}_{j2}+...+a_{in}{\mathbf{A}}_{jn}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=0.$$

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$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ............\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

  如果线性方程组$(1)$的系数行列式$\mathbf{D}\ne 0$,则$(1)$一定有解，且解是唯一的。
其逆否定理为：
如果线性方程组$(1)$无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
  对于齐次线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=0\\ ............\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n=0\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

如果齐次线性方程组$(2)$的系数行列式$\mathbf{D}\ne 0$,则齐次线性方程组$(2)$没有非零解。
如果齐次线性方程组$(2)$有非零解，则它的系数行列式必为零。