对于von Mises distribution(冯·米塞斯分布)的一点心得

概述

在概率论和定向统计中,冯·米塞斯分布(von Mises distribution)指一种圆上连续概率分布模型。它也被称作循环正态分布(circular normal distribution)和缠绕正态分布(wrapped normal distribution)的一种近似,因为它正是正态分布的循环模拟。冯·米塞斯分布可以用于模拟多径衰落的MIMO收发天线的AoA和AoD的统计特性,对实际的信道环境具有较好的拟合效果。

统计性质

概率密度函数(PDF

f ( x ∣ μ , κ ) = e κ c o s ( x − μ ) 2 π I 0 ( κ ) f(x|\mu, \kappa)=\dfrac{e^{\kappa cos(x-\mu)}}{2\pi I_0(\kappa)} f(xμ,κ)=2πI0(κ)eκcos(xμ)

也可以表达为级数形式

f ( x ∣ μ , κ ) = 1 2 π ( 1 + 2 I 0 ( κ ) ∑ j = 1 ∞ I j ( κ ) cos ⁡ [ j ( x − μ ) ] ) f(x \mid \mu, \kappa)=\frac{1}{2 \pi}\left(1+\frac{2}{I_{0}(\kappa)} \sum_{j=1}^{\infty} I_{j}(\kappa) \cos [j(x-\mu)]\right) f(xμ,κ)=2π1(1+I0(κ)2j=1Ij(κ)cos[j(xμ)])

对于von Mises distribution(冯·米塞斯分布)的一点心得_第1张图片

  • x x x代表角度(可任意选取,跨度取 2 π 2\pi 2π即可)

  • I j ( κ ) I_j(\kappa) Ij(κ)代表 j j j阶修正贝塞尔函数

  • μ \mu μ是方位角AoA/AoD取值的平均体现,整个分布围绕它展开( μ \mu μ要求是实数)

  • κ \kappa κ代表方位角AoA/AoD的集中程度( κ > 0 \kappa > 0 κ>0

  • κ \kappa κ趋于0时,分布足够分散,不足以体现出AoA或AoD均值的存在性,全向散射的条件满足,许多信道建模的这个假设是不够充分的。此时的PDF ∼ \sim 均匀分布,即
    f ( x ) = 1 2 π f(x)=\dfrac{1}{2\pi} f(x)=2π1

  • κ \kappa κ趋于 ∞ \infty 时,方位角的集中性很强,它近似于均值为 μ \mu μ,方差为 1 κ \frac{1}{\kappa} κ1的高斯分布,即
    f ( x ) = κ 2 π exp ⁡ ( − κ ( x − μ ) 2 2 ) f(x)=\frac{\sqrt{\kappa}}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{\kappa(x-\mu)^{2}}{2 }\right) f(x)=2π κ exp(2κ(xμ)2)

累积分布函数(CDF)

N o n e None None

均值和中位数

μ \mu μ

方差

v a r ( x ) = 1 − I 1 ( κ ) I 0 ( κ ) var(x)=1-\dfrac{I_1(\kappa)}{I_0(\kappa)} var(x)=1I0(κ)I1(κ)

差分熵

− κ I 1 ( κ ) I 0 ( κ ) + ln ⁡ [ 2 π I 0 ( κ ) ] -\kappa \frac{I_{1}(\kappa)}{I_{0}(\kappa)}+\ln \left[2 \pi I_{0}(\kappa)\right] κI0(κ)I1(κ)+ln[2πI0(κ)]

相关积分公式

∫ − π π e a sin ⁡ c + b cos ⁡ c d c = 2 π I 0 ( a 2 + b 2 ) \int_{-\pi}^{\pi}e^{a\sin{c}+b\cos{c}}dc=2\pi I_0(\sqrt{a^2+b^2}) ππeasinc+bcoscdc=2πI0(a2+b2 )
∫ 0 ∞ I 0 ( j α x 2 + y 2 ) cos ⁡ ( β x ) d x = cos ⁡ ( y α 2 − β 2 ) α 2 − β 2 \int_0^{\infty}I_0(j\alpha \sqrt{x^2+y^2})\cos{(\beta x)}dx=\dfrac{\cos{(y\sqrt{{\alpha}^2-{\beta}^2}})}{\sqrt{{\alpha}^2-{\beta}^2}} 0I0(jαx2+y2 )cos(βx)dx=α2β2 cos(yα2β2 )

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