对于von Mises distribution（冯·米塞斯分布）的一点心得

概述

在概率论和定向统计中，冯·米塞斯分布（von Mises distribution）指一种圆上连续概率分布模型。它也被称作循环正态分布（circular normal distribution）和缠绕正态分布（wrapped normal distribution）的一种近似，因为它正是正态分布的循环模拟。冯·米塞斯分布可以用于模拟多径衰落的MIMO收发天线的AoA和AoD的统计特性，对实际的信道环境具有较好的拟合效果。

统计性质

概率密度函数（PDF）

$$f(x|\mu ,\kappa )=\frac{e^{\kappa cos(x-\mu )}}{2\pi I_0(\kappa )}$$

也可以表达为级数形式

$$f(x\mid \mu ,\kappa )=\frac{1}{2\pi }\left(1+\frac{2}{I_0(\kappa )}\sum _{j=1}^{\infty }{I}_j(\kappa )\cos [j(x-\mu )]\right)$$

• $x$代表角度（可任意选取，跨度取$2\pi$即可）

• $I_j(\kappa )$代表$j$阶修正贝塞尔函数

• $\mu$是方位角AoA/AoD取值的平均体现，整个分布围绕它展开($\mu$要求是实数)

• $\kappa$代表方位角AoA/AoD的集中程度（$\kappa >0$）

• 当$\kappa$趋于0时，分布足够分散，不足以体现出AoA或AoD均值的存在性，全向散射的条件满足，许多信道建模的这个假设是不够充分的。此时的PDF$\sim$均匀分布，即
  $$f(x)=\frac{1}{2\pi }$$

• 当$\kappa$趋于$\infty$时，方位角的集中性很强，它近似于均值为$\mu$，方差为$\frac{1}{\kappa }$的高斯分布，即
  $$f(x)=\frac{\sqrt{\kappa }}{\sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{\kappa (x-\mu {)}^2}{2}\right)$$

累积分布函数(CDF)

$$None$$

均值和中位数

$$\mu$$

方差

$$var(x)=1-\frac{I_1(\kappa )}{I_0(\kappa )}$$

差分熵

$$-\kappa \frac{I_1(\kappa )}{I_0(\kappa )}+\ln \left[2\pi I_0(\kappa )\right]$$

相关积分公式

$${\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{a\sin c+b\cos c}dc=2\pi I_0(\sqrt{a^2+b^2})$$
$${\int }_0^{\infty }{I}_0(j\alpha \sqrt{x^2+y^2})\cos (\beta x)dx=\frac{\cos (y\sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2})}{\sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2}}$$