现代通信原理6.1 常规调幅调制(AM)与抑制载波双边带(DSB-SC)调制

1、引言

  考虑我们用麦克风采集语音信号，完成声-电转换，得到的电信号频率范围在20Hz~20kHz之间，显然属于低通信号。语音（电）信号为模拟随机信号，取值和时间上都是连续的，我们用$m(t)$表示。图1中，我们用录音机获取了周杰伦新歌《说好不哭》大约24s的音频，左边图为波形，右边为频率。不难看出，主要频率集中在零频到7kHz之间。

图1 模拟基带信号

  现在的问题是，如果我们想把类似图1中的这样的基带信号辐射到空间中，即采用无线方式进行传输，我们需要一定长度的天线。作为估算，一般来说我们认为天线长度需要等于无线电波长的$\frac{1}{4}$（当然真正做天线设计时需要更准确的计算），这就意味着，如果我们的基带信号频率为3kHz，波长$\lambda =\frac{c}{f}$，这里的$f=3$kHz为信号频率，$c=3\times 10^8$m/s为光速，因此天线长度大约需要2.5km，显然这是不可能的。如果我们把信号频率提升到300MHz，则天线长度只需要0.25m。
  我们还可能遇到这样一个问题。在无线传输中，由于所有无线信号都在空中叠加，因此会产生严重干扰，因此需要通过无线电管理，为不同系统分配不同带宽。以4G移动通信系统为例，包括1880-1900MHz、2320-2370MHz、2575-2635MHz等。这也意味着，我们需要将低通语音或者数字信号的频率升高，变为带通信号，才能够在分配的频段内传输。当然，在接收端需要将信号从带通再进行下搬移，变回低通信号。而这种低通变带通，带通变低通的过程，就称为信号的调制与解调。
  这一讲，主要介绍模拟幅度调制，包括常规调幅调制(AM)、抑制载波双边带(SSB-SC)调制以及单边带(SSB)调制。

2、常规调幅调制(AM)调制器模型

  AM调制器模型如图1(a)所示。显然有
$$s_{\mathrm{A}\mathrm{M}}(t)=A_c[1+m(t)]\cos 2\pi f_{c}t.\text{\hspace{1em}(1)}$$进一步，我们定义调幅指数
$${\beta }_{\mathrm{A}\mathrm{M}}=\max |m(t)|.\text{\hspace{1em}(2)}$$

图1 AM与DSB调制器模型

我们来看三种不同的调幅指数取值情况，即${\beta }_{AM}<1$、${\beta }_{AM}=1$以及${\beta }_{AM}>1$的情况，如图2所示，其中(a)、(b)分别为基带信号和载波信号波形；(c )、(d)、(e)、(f)中调幅指数${\beta }_{AM}$分别等于0.5、1、2和5。

图2 不同调幅指数时的AM系信号波形

  事实上，AM调制的最大优点是接收机简单，可以采用包络检波法。这里我们不拟详述AM包络检波的详细过程，只在图3中给出示意，不难看出，二极管、电容和电阻即可构成包络检波器，通过电容充放电就可以跟随已调信号包络变化，而这里的包络，即(1)中的信号幅度$A_c[1+m(t)]$。

图3 AM包络检波过程

当AM信号的调幅指数${\beta }_{\mathrm{A}\mathrm{M}}>1$时，包络检波会发生错误，如图4所示。此时，由于$1+m(t)$可能小于零，导致包络检波输出$|1+m(t)|$与之不等，故无法正确恢复出$m(t)$。

图4 调幅指数大于1时包络检波出现错误

3、AM信号的傅立叶变换

  根据(1)，我们可以得到AM信号的频谱密度为
$$M(f)=\frac{A_c}{2}[\delta (f-f_c)+\delta (f+f_c)]+\frac{A_c}{2}[M(f-f_c)+M(f+f_c)].\text{\hspace{1em}(3)}$$其示意图如图5所示，这里$M(f)$为基带信号频谱，这里假定其最大频率（带宽）为$B$，显然AM信号包含两个部分，一是离散载波，在$f_c$处的冲激；二是边带信号，包括上边带（大于$f_c$)和下边带（小于$f_c$)。由于包含上下两个边带，已调的AM信号带宽为2B，因此我们称AM为双边带信号。

图5 AM信号频谱密度示意图

4、AM信号功率与调制效率

  下面我们来求AM信号的平均功率，有
$$\begin{array}{rl}\overline{s_{\mathrm{A}\mathrm{M}}^2(t)}& =\overline{A_c^2[1+m(t){]}^2{\cos }^{2}2\pi f_{c}t}\\ & =\frac{1}{2}{A}_c^2\overline{[1+m(t){]}^2}+\frac{1}{2}{A}_c^2\overline{[1+m(t){]}^2\cos 4\pi f_{c}t},\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$由于相对于$\cos 4\pi f_{c}t$，$m(t)$的变化要缓慢得多，因此可以近似认为在$\cos 4\pi f_{c}t$的一个周期之内，正负半周可以相互抵消，故上式中的第二项可以近似为0。进一步，我们有
$$\begin{array}{rl}\overline{s_{\mathrm{A}\mathrm{M}}^2(t)}& =\frac{1}{2}{A}_c^2\overline{[1+m(t){]}^2}\\ & =\frac{1}{2}{A}_c^2+\frac{1}{2}{A}_c^2\overline{m^2(t)}+A_c^2\overline{m(t)},\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$我们一般假定$m(t)$为纯交流信号，即$\overline{m(t)}=0$，因此有AM信号的平均功率为
$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{A}\mathrm{M}}& =P_c+P_m\\ & =\frac{1}{2}{A}_c^2+\frac{1}{2}{A}_c^2\overline{m^2(t)},\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$这里，$P_c=\frac{1}{2}{A}_c^2$以及$P_m=\frac{1}{2}{A}_c^2\overline{m^2(t)}$分别称为载波功率和边带功率。显然，只有边带功率是用来传输基带信号$m(t)$的，据此，我们定义AM信号的调制效率为
$$\begin{array}{rl}{\eta }_{\mathrm{A}\mathrm{M}}& =\frac{P_m}{P_c+P_m}=\frac{\frac{1}{2}{A}_c^2\overline{m^2(t)}}{\frac{1}{2}{A}_c^2+\frac{1}{2}{A}_c^2\overline{m^2(t)}}\\ & =\frac{\overline{m^2(t)}}{1+\overline{m^2(t)}}.\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

【思考题1】请问$m(t)$为什么波形时调制效率最高？此时调制效率为多少？
【思考题2】如果$m(t)=a\cos 2\pi f_{m}t$为单音信号，则$a$等于多少是可以得到最大的调制效率？此最大调制效率等于多少？

5、抑制载波双边带(DSB-SC)调制

  抑制载波双边带调制(double sideband suppressed carrier, DSB-SC)调制器如图1(b)所示。显然，与AM不同之处在于，DSB-SC直接用$m(t)$进行调制，其已调信号的时域与频域表达式分别为
$$\begin{array}{rl}{s}_{\mathrm{D}\mathrm{S}\mathrm{B}}(t)& =m(t)\cos 2\pi f_{c}t,\\ S_{\mathrm{D}\mathrm{S}\mathrm{B}}(f)& =\frac{A_c}{2}[M(f-f_c)+M(f+f_c)].\end{array}$$DSB-SC信号的傅立叶变换与AM相比，没有载频处的冲激，只有边带成分。显然，DSB-SC信号的平均功率为
$$\begin{array}{rl}{P}_{\mathrm{D}\mathrm{S}\mathrm{B}}& =\frac{1}{2}{A}_c^2\overline{m^2(t)}.\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$